Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 



#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT Cauchy :

$\Rightarrow \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}+\frac{1}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{4}}{256}}=a$
Tương tự với các BĐT còn lại và công tất cả vế theo vế :

$\Rightarrow \Sigma \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq a+b+c-\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{3}{2}\geq \frac{3}{4}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{2}=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow Q.E.D$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

P=$4\sum \frac{a^{4}}{4(1+b)(1+c)}\geq 4\sum \frac{a^{4}}{(2+b+c)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{2+b+c})^{2}$ 

áp dụng bđt Shwars thì

$P\geq \frac{4}{3}(\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)+6})^{2}$ (1)

ta có

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)

từ đó (1)(2)  suy ra

$P\geq \frac{4}{3}(\frac{(a+b+c)^{2}}{4(a+b+c)}) ^{2}= \frac{4}{3}(\frac{a+b+c}{4})^{2}=\frac{3}{4}$

vậy được đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 06-01-2014 - 23:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh