Chủ đề này có 4 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho phương trình: $x^{2}-x-3=0$ với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Chứng minh $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}$ là số nguyên

 

[Binh Le]

CM như sau :
Ta có :$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} ; x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ 
Theo Viet thì $x_{1}.x_{2}=-3$ và $x_{1}+x_{2}=1$
Khai triển $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})-x_{1}.x_{2}(x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009})$ 
hay $S_{n+2}=S_{n+1}+3S_{n}$
Lại có $S_{0}=2 ,S_{1}=1$
CM bằng quy nạp ta đc $S_{n}$ $\in \mathbb{Z} ,\forall n \in N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 05-01-2014 - 21:39

[RoyalMadrid]

CM như sau :
Ta có :$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} ; x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ 
Theo Viet thì $x_{1}.x_{2}=-3$ và $x_{1}+x_{2}=1$
Khai triển $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})-x_{1}.x_{2}(x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009})$ 
hay $S_{n+2}=S_{n+1}+3S_{n}$
Lại có $S_{0}=2 ,S_{1}=1$
CM bằng quy nạp ta đc $S_{n}$ $\in \mathbb{Z} ,\forall n \in N$

Bạn nói rõ đoạn sau được không. Mình không hiểu lắm. Có cách làm khác không bạn???

[mnguyen99]

CM như sau :
Ta có :$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} ; x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ 
Theo Viet thì $x_{1}.x_{2}=-3$ và $x_{1}+x_{2}=1$
Khai triển $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})-x_{1}.x_{2}(x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009})$ 
hay $S_{n+2}=S_{n+1}+3S_{n}$
Lại có $S_{0}=2 ,S_{1}=1$
CM bằng quy nạp ta đc $S_{n}$ $\in \mathbb{Z} ,\forall n \in N$

Đoạn CM màu đỏ trên bằng quy  nạp bạn trình bày chi tiết được ko.

[Binh Le]

Đoạn CM màu đỏ trên bằng quy  nạp bạn trình bày chi tiết được ko.

Đặt $S_{n}= x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$ .câu màu đỏ thì nhìn lên dòng phía trên đó. Mình cm vs n$\in N$ mà