Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Lưu ý:
- Hiện có rất nhiều phần mềm vẽ đồ thị (Mathcad, Scientific Notebook, graphic calculator,...). Trong bài viết này điều cần lưu ý là bạn phải nắm bắt được hình dạng cơ bản của đường cong bạn gặp. Việc hiểu được nét tự nhiên của nhưng hàm số rất quan trọng cho việc nghiên cứu của bạn sau này. Đa số các mô hình toán học đều bắt đầu từ đồ thị
- Bạn cần phải vẽ đồ thị, đưa ra những vị trí đặc biệt, tránh việt vẽ hộp $x-y$ và chấm các điểm
- Ta sẽ dùng vi tích phân để tìm ra các điểm đặc biệt

Những điều ta sẽ tìm trong bài viết này là:

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Giao điểm trục}\, x & \text{Sử dụng}\, y=0 \\ &\text{Lưu ý: Trong nhiều trường hợp, tìm giao điểm trục}\, x\, \text{ không dễ, khi đó hãy bỏ qua bước này}\\ \hline \text{Giao điểm trục}\, y & \text{Sử dụng}\, x=0 \\ \hline \text{Cực đại địa phương} & \text{Sử dụng}\, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\, \text{Dấu của đạo hàm đầu tiên thay đổi}\, +\rightarrow -\\ \hline \text{Cực tiểu địa phương} & \text{Dấu của đạo hàm đầu tiên thay đổi}\, --\rightarrow +\\ \hline \text{Điểm uốn} &\text{Dùng}\, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, \text{và dấu của}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\, \text{thay đổi}\\ \hline \end{array}$

I. Tìm cực đại và cực tiểu:

1. Cực đại địa phương;

Cực đại địa phương xuất hiện khi phương trình $y'=0$ có nghiệm và dấu của $y'$ thay đổi từ dương sang âm khi đi từ trái sang phải

2. Cực tiểu địa phương:

Cực tiểu địa phương xuất hiện khi phương trình $y'=0$ có nghiệm và dấu của $y'$ thay đổi từ âm sang dương khi đi từ trái sang phải.

II. Đạo hàm bậc 2:

Đạo hàm bậc 2 cho ta biết hình dạng của đường cong ở bất kỳ điểm nào

1. Lõm xuống

Nếu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ thì đường cong sẽ có hình kiểu cực tiểu gọi là lõm xuống (hay "lõm")

Ví dụ 1:

Đường cong $y=x^{2}+3x-2$ có $\frac{dy}{dx}=2x+3$.

Bây giờ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2$ và đương nhiên giá trị này $>0$ với mọi $x$ nên có hình lõm xuống với mọi giá trị $x$

2. Lõm lên:

Nếu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ thì đường cong sẽ có hình kiểu cực đại gọi là lõm lên (hay "lồi")

Ví dụ 2:

Đường cong $y=x^{3}-2x+5$ có $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2$. Đạo hàm bậc hai là $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x<0;\forall x<0$. Vì vậy đường cong lõm xuống với mọi giá trị $x<0$ (và lõm lên với mọi giá trị $x>0$)

III. Tìm điểm uốn:

Điểm uốn là điểm mà hình dạng của đường cong thay đổi từ hình kiểu cực đại $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ sang hình kiểu cực tiểu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$.

Rõ ràng, điểm uốn sẽ xuất hiện khi $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ và có sự đổi dấu (từ $+\rightarrow -$ hay $-\rightarrow +$

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị sau bằng cách tìm giao điểm 2 trục tọa độ, điểm uốn, (các) điểm cực đại, cực tiểu:

$$y=x^{3}-9x$$

Trả lời

Spoiler

Hình dạng cơ bản của phương trình bậc 3 là:



Hãy nhớ hình này, sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình vẽ hình đấy.

1. Giao điểm với trục $x$

$$y=x^{3}-9x=x(x+3)(x-3)=0\Leftrightarrow x=0\, \vee x=-3\, \vee x=3$$

2. Giao điểm với trục $y$

Khi $x=0;y=0$

3. Các điểm cực đại và cực tiểu

$$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-9=3(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{3}\, \vee x=\sqrt{3}$$

Vậy ta có các điểm cực đại, cực tiểu với các giá trị xấp xỉ $(-1,7;10,4);(1,7;-10,4)$

Ta có thể kiểm tra điều này bằng cách kiểm tra một vài điểm gần $-1,7$ và $1,7$ để kiểm chứng xem dấu thay đổi như thế nào. Nhưng ta cần phải tìm đạo hàm cấp 2 để xác định điểm uốn, vì vậy ta sẽ tận dụng điều này để kiểm chứng cực đại, cực tiểu.

4. Đạo hàm bậc 2

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x$$

Vì $x=-1,7,y''<0$ nên cực đại tại $(-1,7;10,4)$

Vì $x=1,7,y''>0$ nên cực tiểu tại $(1,7;-10,4)$

5. Điểm uốn

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x$$

Bây giờ

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0\Leftrightarrow x=0$$

Và $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ đổi dấu từ âm (lõm xuống) sang dương (lõm lên) khi $x$ đi qua $0$

Bây giờ ta đã đủ dữ liệu để vẽ đồ thị

IV. Các dạng hình tổng quát

Nếu ta biết được những hình dạng cơ bản này thì việc vẽ đồ thị sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Đương nhiên những hình dưới đây là hình "lý tưởng", và còn rất nhiều dạng hình khác và trường hợp khác. Nhưng ít ra những hình này chính là nền tảng để các bạn nghiên cứu những hình phức tạp hơn

Ví dụ 4:

Vẽ đồ thị và thể hiện giao điểm với các trục đồ thị, cực đại, cực tiểu và điểm uốn

$$y=x^{4}-6x^{2}$$

Trả lời

Spoiler

1. Giao điểm với trục $x$

$$y=x^{4}-6x^{2}=x^{2}(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})=0\Leftrightarrow x=0;x=-\sqrt{6};x=\sqrt{6}$$

2. Giao điểm với trục $y$

Khi $x=0,y=0$

3. Các cực đại và cực tiểu

$$\frac{dy}{dx}=4x^{3}-12x=4x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$

$$\frac{dy}{dx}=0\Leftrightarrow x=0;x=-\sqrt{3};x=\sqrt{3}$$

Vậy ta có các điểm cực đại hoặc cực tiểu tại $(0;0),(-\sqrt{3};9),(\sqrt{3};-9)$

4. Đạo hàm bậc hai:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=12x^{2}-12$$

Vì $y''>0$ với $x=-\sqrt{3}$ nên $(-\sqrt{3};-9)$ là cực tiểu địa phương

Vì $y''<0$ với $x=0$ nên $(0;0)$ là cực đại địa phương

Vì $y''>0$ với $x=\sqrt{3}$ nên $(\sqrt{3};-9)$ là cực tiểu địa phương

5. Điểm uốn

Bây giờ ta dùng đạo hàm bậc 2 để tìm điểm uốn

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=12x^{2}-12=12(x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow x=-1;x=1$$

Nếu $x<-1$ thì $y''>0$ và với $-1
Vậy dấu của $y''$ thay đổi, vậy $(-1;-5)$ là điểm uốn

Nếu $x>-1$ thì $y''>0$. Vậy dấu của $y''$ thay đổi, vậy $(-1;-5)$ là điểm uốn

Bây giờ ta có thể vẽ đồ thị

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị và thể hiện giao điểm với các trục đồ thị, cực đại, cực tiểu và điểm uốn

$$y=x^{5}-5x^{4}$$

Trả lời

Spoiler

Lưu ý: Câu hỏi này khá là phức tạp và đây cũng là ví dụ cho một vài rắc rối bạn có thể gặp. Nếu bạn vẫn chữa hoàn toàn hiểu, đừng lo lắng quá nhé!
1. Giao điểm với trục $x$

$$y=x^{5}-5x^{4}=x^{4}(x-5)=0\Leftrightarrow x=0;x=5$$

2. Giao điểm với trục $y$

Khi $x=0$ thì $y=0$

3. Cực đại và cực tiểu

$$\frac{dy}{dx}=5x^{4}-20x^{3}=5x^{3}(x-4)=0\Leftrightarrow x=0;x=4$$

Vậy ta có cực đại hoặc cực tiểu tại $(0,0);(4,-256)$

4. Đạo hàm cấp 2

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}==20x^{3}-60x^{2}$$

Bây giờ $y''=0$ khi $x=0$. Vậy điểm $(0;0)$ là ???

Với $y''>0$ khi $x=4$ nên $(4,-256)$ là cực tiểu địa phương

5. Điểm uốn

Ta dùng đạo hàm cấp 2 để tìm điểm uốn

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}==20x^{3}-60x^{2}=20x^{2}(x-3)=0\Leftrightarrow x=0;x=3$$

Nếu $x<0$ thì $y''<0:$

Nếu $0<x<3$ thì $y''<0:$

Dấu không thay đổi, vậy tại $x=0$ không có điểm uốn

Nếu $x>3$ thì $y''>0$

Vậy dấu của $y''$ đã thay đổi nên $(3,-162)$ là điểm uốn

Thật ra tại $x=0$ ta có điểm nhẵn. Đây không phải cực đại địa phương mặc dù nhìn hình vẽ thì có vẻ giống cực đại địa phương

Bây giờ ta có thể vẽ hình

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu cách vẽ những đường cong không biểu diễn cho đa thức. Những đường cong này có thể không liên tục hay có những hình dáng đặc biệt. Do tính ứng dụng của các hình này trong cuộc sống rất lớn nên ta cần nắm rõ các dạng đồ thị, đồng thời khi sử dụng máy tính để vẽ, ta cần xác định được những lỗi sai hay hình dáng khác thường của đồ thị.

Ta sử dụng những kỹ thuật vẽ đồ thị cơ bản, kiểm tra đặc điểm của hàm số khi

$$x\rightarrow +\infty$$
$$x\rightarrow -\infty$$

$x\rightarrow$ bên trái điểm không liên tục

$x\rightarrow$ bên phải điểm không liên tục

V. Đối xứng: Ta sử dụng tính đối xứng qua trục $y$ để vẽ đường cong

VI. Tập xác định và tập giá trị:

Tập xác định (tất cả các giá trị $x$ có thể) và tập giá trị (giá trị $y$ tương ứng với $x$) rất quan trọng để vẽ hình theo một số yêu cầu (chẳng hạn căn bậc hai).

VII. Quy trình thực hiện:

Khi vẽ hình ta cần xác định:

1. Giao điểm của đồ thị với trục $x$.
2. Giao điểm của đồ thị với trục $y$.
3. Giới hạn khi $x$ tiến đến $\infty$
4. Tập xác định và tập giá trị.
5. Cực đại và cực tiểu.
6. Đạo hàm bậc hai.
7. Trạng thái đồ thị gần điểm không liên tục.

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị

$$y=x+\frac{4}{x^{2}}$$

Trả lời

Spoiler

1. Giao điểm với trục $x$

$$x+\frac{4}{x^{2}}=0$$

$$\Leftrightarrow x^{3}+4=0$$

$$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-4}\approx -1,6$$

2. Giao điểm với trục $x$

Ta không xác định được hàm số tại $x=0$ nên không có giao điểm của đồ thị với trục $y$, từ đó sẽ có tiệm cận tại $x=0$.

3. Các giới hạn

Khi $x\rightarrow -\infty$ thì $\frac{4}{x^{2}}\Rightarrow 0$, vậy $y\rightarrow -\infty$

(Thật ra, đường cong sẽ ngày càng tiến gần đến đường thẳng $y=x$ ở phần âm)

Khi $x\rightarrow +\infty$ thì $y\rightarrow +\infty$

(Thật ra, đường cong sẽ ngày càng tiến gần đến đường thẳng $y=x$ ở phần dương)

4.
- Tập xác định: Mọi giá trị thực $x$ ngoại trừ $0$.
- Tập giá trị: Mọi giá trị thực $y$

5. Cực đại và cực tiểu:

$$y=x+\frac{4}{x^{2}}$$

$$\frac{dy}{dx}=1-8x^{-3}$$

Ta được $1-8x^{-3}=0\Leftrightarrow x=2$

Vậy ta sẽ có cực đại hoặc cực tiểu tại điểm $(2,3)$

Bây giờ, khi $\rightarrow -\infty,\frac{dy}{dx}\rightarrow 1$ và khi $\rightarrow +\infty,\frac{dy}{dx}\rightarrow 1$

6. Đạo hàm cấp 2:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{24}{x^{4}}>0;\forall x$$

Vậy hàm lõm lên với mọi giá trị $x$, vậy điểm $(2;3)$ là cực tiểu.

7. Gần điểm không liên tục

Khi $x\rightarrow 0^{-}$ (nghĩa là $x$ tiến gần đến $0$ từ phía âm),$y\rightarrow \infty$

(Bạn có thể kiểm chứng bằng cách thử các giá trị $x = -1, -0.5, -0.1, -0.01, -0.001$)

Khi $x\rightarrow 0^{+}$ (nghĩa là $x$ tiến gần đến $0$ từ phía dương),$y\rightarrow \infty$

(Bạn có thể kiểm chứng bằng cách thử các giá trị $x = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001$)

Bây giờ ta bắt đầu vẽ đồ thị

Ví dụ 7: Vẽ đồ thị $y=\frac{9x}{x^{2}+9}$

Trả lời

Spoiler

1. Giao điểm với trục $x$:

$$\frac{9x}{x^{2}+9}=0\Leftrightarrow x=0$$

2. Giao điểm với trục $y$:

Khi $x=0,y=0$.

3. Giới hạn khi $x$ tiến đến $\infty$

Chia tử và mẫu cho $x^{2}$ được $\frac{\frac{9}{x}}{1+\frac{9}{x^{2}}}$

Khi $x\rightarrow -\infty,y\rightarrow 0$

Tương tự, $x\rightarrow +\infty,y\rightarrow 0$

4.
-Tập xác định: Mọi số thực $x$
-Tập giá trị: xem phần 5

5. Cực đại và cực tiểu:

$$y=\frac{9x}{x^{2}+9}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-9(x^{2}-9)}{x^{2}+9}$$

$$\frac{dy}{dx}=0\Leftrightarrow x=\pm 3$$

Vậy ta có cực đại hoặc cực tiểu tại $(-3;-1,5)$ hoặc $(3;1,5)$

Một vài miêu tả cho biểu thức $\frac{dy}{dx}$ là

- DƯƠNG khi $-3<x<3$

- ÂM khi $x<-3$ và $x>3$

Từ đó ta kết luận rằng $(-3;-1,5)$ là cực tiểu và $(3;1,5)$ là cực đại, vậy tập giá trị là $-1,5\leq y\leq 1,5$, đồng thời ta có độ dốc tại $x=0$ là: $\left.\begin{matrix} \frac{dy}{dx}=\frac{-9x^{2}+81}{(x^{2}+9)^{2}} \end{matrix}\right|_{x=0}=1$

6. Đạo hàm bậc hai:

Trong trường hợp này, đạo hàm bậc hai có vẻ như phức tạp để tính nhanh, rất dễ dẫn đến sai sót.

Bây giờ ta có thể vẽ đồ thị

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

Bài trước: Tốc độ liên quan

Bài tiếp: Áp dụng vi phân để xử lý những vấn đề cực trị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 30-01-2014 - 00:28