Lưu ý:
- Hiện có rất nhiều phần mềm vẽ đồ thị (Mathcad, Scientific Notebook, graphic calculator,...). Trong bài viết này điều cần lưu ý là bạn phải nắm bắt được hình dạng cơ bản của đường cong bạn gặp. Việc hiểu được nét tự nhiên của nhưng hàm số rất quan trọng cho việc nghiên cứu của bạn sau này. Đa số các mô hình toán học đều bắt đầu từ đồ thị
- Bạn cần phải vẽ đồ thị, đưa ra những vị trí đặc biệt, tránh việt vẽ hộp $x-y$ và chấm các điểm
- Ta sẽ dùng vi tích phân để tìm ra các điểm đặc biệt
Những điều ta sẽ tìm trong bài viết này là:
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Giao điểm trục}\, x & \text{Sử dụng}\, y=0 \\ &\text{Lưu ý: Trong nhiều trường hợp, tìm giao điểm trục}\, x\, \text{ không dễ, khi đó hãy bỏ qua bước này}\\ \hline \text{Giao điểm trục}\, y & \text{Sử dụng}\, x=0 \\ \hline \text{Cực đại địa phương} & \text{Sử dụng}\, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\, \text{Dấu của đạo hàm đầu tiên thay đổi}\, +\rightarrow -\\ \hline \text{Cực tiểu địa phương} & \text{Dấu của đạo hàm đầu tiên thay đổi}\, --\rightarrow +\\ \hline \text{Điểm uốn} &\text{Dùng}\, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, \text{và dấu của}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\, \text{thay đổi}\\ \hline \end{array}$
I. Tìm cực đại và cực tiểu:
1. Cực đại địa phương;
Cực đại địa phương xuất hiện khi phương trình $y'=0$ có nghiệm và dấu của $y'$ thay đổi từ dương sang âm khi đi từ trái sang phải
2. Cực tiểu địa phương:
Cực tiểu địa phương xuất hiện khi phương trình $y'=0$ có nghiệm và dấu của $y'$ thay đổi từ âm sang dương khi đi từ trái sang phải.
II. Đạo hàm bậc 2:
Đạo hàm bậc 2 cho ta biết hình dạng của đường cong ở bất kỳ điểm nào
1. Lõm xuống
Nếu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ thì đường cong sẽ có hình kiểu cực tiểu gọi là lõm xuống (hay "lõm")
Ví dụ 1:
Đường cong $y=x^{2}+3x-2$ có $\frac{dy}{dx}=2x+3$.
Bây giờ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2$ và đương nhiên giá trị này $>0$ với mọi $x$ nên có hình lõm xuống với mọi giá trị $x$
2. Lõm lên:
Nếu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ thì đường cong sẽ có hình kiểu cực đại gọi là lõm lên (hay "lồi")
Ví dụ 2:
Đường cong $y=x^{3}-2x+5$ có $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2$. Đạo hàm bậc hai là $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x<0;\forall x<0$. Vì vậy đường cong lõm xuống với mọi giá trị $x<0$ (và lõm lên với mọi giá trị $x>0$)
III. Tìm điểm uốn:
Điểm uốn là điểm mà hình dạng của đường cong thay đổi từ hình kiểu cực đại $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ sang hình kiểu cực tiểu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$.
Rõ ràng, điểm uốn sẽ xuất hiện khi $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$ và có sự đổi dấu (từ $+\rightarrow -$ hay $-\rightarrow +$
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị sau bằng cách tìm giao điểm 2 trục tọa độ, điểm uốn, (các) điểm cực đại, cực tiểu:
$$y=x^{3}-9x$$
Trả lời
IV. Các dạng hình tổng quát
Nếu ta biết được những hình dạng cơ bản này thì việc vẽ đồ thị sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Đương nhiên những hình dưới đây là hình "lý tưởng", và còn rất nhiều dạng hình khác và trường hợp khác. Nhưng ít ra những hình này chính là nền tảng để các bạn nghiên cứu những hình phức tạp hơn
Ví dụ 4:
Vẽ đồ thị và thể hiện giao điểm với các trục đồ thị, cực đại, cực tiểu và điểm uốn
$$y=x^{4}-6x^{2}$$
Trả lời
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị và thể hiện giao điểm với các trục đồ thị, cực đại, cực tiểu và điểm uốn
$$y=x^{5}-5x^{4}$$
Trả lời
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu cách vẽ những đường cong không biểu diễn cho đa thức. Những đường cong này có thể không liên tục hay có những hình dáng đặc biệt. Do tính ứng dụng của các hình này trong cuộc sống rất lớn nên ta cần nắm rõ các dạng đồ thị, đồng thời khi sử dụng máy tính để vẽ, ta cần xác định được những lỗi sai hay hình dáng khác thường của đồ thị.
Ta sử dụng những kỹ thuật vẽ đồ thị cơ bản, kiểm tra đặc điểm của hàm số khi
$$x\rightarrow +\infty$$
$$x\rightarrow -\infty$$
$x\rightarrow$ bên trái điểm không liên tục
$x\rightarrow$ bên phải điểm không liên tục
V. Đối xứng: Ta sử dụng tính đối xứng qua trục $y$ để vẽ đường cong
VI. Tập xác định và tập giá trị:
Tập xác định (tất cả các giá trị $x$ có thể) và tập giá trị (giá trị $y$ tương ứng với $x$) rất quan trọng để vẽ hình theo một số yêu cầu (chẳng hạn căn bậc hai).
VII. Quy trình thực hiện:
Khi vẽ hình ta cần xác định:
1. Giao điểm của đồ thị với trục $x$.
2. Giao điểm của đồ thị với trục $y$.
3. Giới hạn khi $x$ tiến đến $\infty$
4. Tập xác định và tập giá trị.
5. Cực đại và cực tiểu.
6. Đạo hàm bậc hai.
7. Trạng thái đồ thị gần điểm không liên tục.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị
$$y=x+\frac{4}{x^{2}}$$
Trả lời
Ví dụ 7: Vẽ đồ thị $y=\frac{9x}{x^{2}+9}$
Trả lời
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Tốc độ liên quan
Bài tiếp: Áp dụng vi phân để xử lý những vấn đề cực trị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 30-01-2014 - 00:28