cho a,b>0 cmr
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$
Bắt đầu bởi black rose dragon, 07-01-2014 - 23:40
#2
Đã gửi 08-01-2014 - 18:29
lahantaithe99
-
- Thành viên
-
- 883 Bài viết
Trung úy
cho a,b>0 cmr
$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$
Ta tìm được dấu = xảy ra khi a=b=1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có
$(1+a)^2\leq (1+ab)(1+\frac{a}{b})=(1+ab)(\frac{a+b}{b})$
và $(1+b)^2\leq (1+ab)(1+\frac{b}{a})=(1+ab)(\frac{a+b}{a})$
Suy ra $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{b}{(ab+1)(a+b)}+\frac{a}{(ab+1)(a+b)}=\frac{a+b}{(ab+1)(a+b)}=\frac{1}{ab+1}$
- Trang Luong, hoctrocuanewton, Phuong Thu Quoc và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-01-2014 - 16:40
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Biến đổi tương đương $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{1+ab}< = > (a+b)(a-b)^2\geq 0$
#4
Đã gửi 06-05-2021 - 10:50
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}-\frac{1}{1+ab}=\frac{ab^3+a^3b-a^2b^2-2ab+1}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geqslant \frac{2a^2b^2-a^2b^2-2ab+1}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}=\frac{(ab-1)^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+ab)}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
