Chủ đề này có 1 trả lời

[ijkm]

Tính nguyên hàm: $\int \frac{\sqrt{x^2-x}}{x}dx$

 

[chiyeuminhem]

Ta có:
$I = \int \frac{\sqrt{x(x-1)}}{x} dx$
$= \int \frac{\sqrt{x}\sqrt{x-1}}{x} dx$
Đặt $t = \sqrt{x-1} \Rightarrow \begin{cases}
x = t^2 + 1 \\
2tdt = dx
\end{cases}$
$\Rightarrow I = \int \frac{t.\sqrt{t^2 + 1}}{t^2+1} 2tdt$
$= 2\int \frac{t^2}{\sqrt{t^2+1}} dt$
Đặt $t = tanu \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^2u} du$
$\Rightarrow I = 2\int \frac{tan^2u}{\sqrt{1+tan^2u}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int \frac{tan^2u}{\sqrt{\frac{1}{cos^2u}}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int \frac{tan^2u}{\frac{1}{cosu}}. \frac{1}{cos^2u} du$
$= 2\int tan^2u. \frac{1}{cosu} du$
$= 2\int \frac{sin^2u}{cos^2u}. \frac{1}{cosu} du$
$= 2\int \frac{1 -cos^2u}{cos^3u} du$
$= 2\left( \int \frac{1}{cos^3u} du - \int \frac{1}{cosu} du \right)$
$= 2(I_1 - I_2) \qquad (*)$
+ Tính $I_1 = \int \frac{1}{cos^3u} du$
$= \int \frac{cosu}{cos^4u} du$
$= \int\frac{cosu}{(1-sin^2u)^2} du$
Đặt $m = sinu \Rightarrow dm = cosu.du$
$\Rightarrow I_1 = \int \frac{1}{((1-m)(1+m))^2} dm$
$= \int \left(\frac{1}{(1-m)(1+m)} \right)^2 dm$
$= \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m} \right)^2 dm$
Đến đây bạn nhân cái bình phương ra thì ta sẽ tách ra được 3 nguyên hàm:
$I_1 a = \int \frac{1}{(1-m)^2} dm$
$I_1 b = \int \frac{1}{(1+m)^2} dm$
$I_1 c = \int \frac{2}{(1-m)(1+m)} dm$
Dễ dàng tính đc $I_1 a$ va $I_1 b$ nhé, nguyên hàm $I_1 c$ lại dùng đồng nhất thức là tính đc. Bạn tự tính đi. T lười viết quá :-D
+ Tính $I_2 = \int \frac{1}{cosu} du$
= $\int \frac{cosu}{1-sin^2u} du$
Đến đây b lại đổi biến $n = sinu \Rightarrow dn=cosudu$.
Sau đó b lại dùng đồng nhất thức để tính.
Tính dc $I_1, I_2$ rùi b thay hết vào $(*)$ thì sẽ ra nguyên hàm ban đầu cần tính.
P/s: bài này dài quá :-P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chiyeuminhem: 12-01-2014 - 02:13