Đề thi chọn đội tuyển HSG Olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10
Thời gian 180 phút
Câu 1:
Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+x+y=y^2 & \\ x^4 - 4x^2y + 3x^2 = -y^2& \end{matrix}\right.$
Câu 2:
Cho góc nhọn BAx, điểm C di động trên tia Ax ( C khác A ). Gọi tiếp điểm của AC, BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M, N. Chứng minh rằng MN đi qua 1 điểm cố định khi C di động
Câu 3:
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$ và $a+b+c=3$
Chứng minh rằng:
$\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3b\geq 5$
Câu 4:
Cho trước số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $a$ với $1< a\leq p-1$. Giả sử:
$A=\sum_{k=0}^{p-1}a^k$. Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố $q$ của $A$ ta đều có $q-1\vdots p$
Câu 5:
Cả 3 năm học cấp 3, lớp T đã tổ chức 50 lần ngoại khóa, mỗi lẫn có hơn nửa số học sinh của lớp tham gia. Chứng minh rằng: Tồn tại 1 nhóm ko quá 5 học sinh mà mỗi lần ngoại khóa có ít nhất 1 học sinh nhóm tham gia
Câu 6:
Tìm tất cả các hàm $f:N*\rightarrow N*$ thỏa các điều kiện sau:
$\left\{\begin{matrix} f(n+1)>f(n) & \\ f(f(n))=n+2012 & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in \mathbb{N}*$
P/s: Đề khá hay và khó