Đề bài: tìm $x,y$ không âm thỏa mãn $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ (1)
Ta giải bày này bằng phương pháp giới hạn,cụ thể là chứng minh $x>y$ và $x<y+2$
Xét $(y+2)^{2}-x^{2}$ hay $(y+2)^{2}-y^{2}-\sqrt{y+1}=y^{2}+4y+4-y^{2}-\sqrt{y+1}= \sqrt{y+1}(4\sqrt{y+1}-1)> 0$ do $4\sqrt{y+1}-1>4-1=3$
Mặt khác,dễ thấy $x>y$ (do$\sqrt{y+1}>0$)
Từ đó nhận được $x=y+1$, thay vào (1) được:
$y^{2}+2y+1-y^{2}-\sqrt{y+1}=0\Leftrightarrow 2y+1=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow 4y^{2}+3y=0$
$\Leftrightarrow y=0$ hay $y=\frac{-3}{4}$(loại)
Do đó,$x=y+1=1$
Thử lại,thấy thỏa mãn (1)
Kết luận:phương trình (1) có duy nhất nghiệm $(x;y)=(1;0)$ thoả mãn.
Không nên dùng từ "dễ thấy".
$d=10$
$d_{mr}=0;d_{tl}=0;d_{t}=0$
$S=46$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 20-01-2014 - 20:46