Chủ đề này có 1 trả lời

[tanh]

Giải hệ phương trình:

$1)\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1}) =1& \\  y+\frac{y}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{35}{12}=0 \end{matrix}\right.$

$2)\left\{\begin{matrix}x^3-y^2-y=\frac{1}{3}&&\\y^3-z^2-z=\frac{1}{3}&&\\z^3-x^2-x=\frac{1}{3}&&\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 12-01-2014 - 09:25

[Mai Duc Khai]

Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nha ! Nếu dài quá thì nên tìm cái tiêu đề khác cho ngắn gọn, xúc tích

 

$1)\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1}) =1& \\  y+\frac{y}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{35}{12}=0 \end{matrix}\right.$

Gợi ý:

$(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=(-y)+\sqrt{(-y)^2+1}$

Ta chứng minh $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Từ đó suy ra $x=-y$

Thay $x=-y$ vào pt thứ 2 ta được pt khá quen thuộc.Bạn có thể giải pt này bằng nhiều cách.
Nếu mình không nhầm thì hệ có 2 cặp nghiệm là $(x;y)=(\frac{5}{4};-\frac{5}{4});(\frac{5}{3};-\frac{5}{3})$

 

 

$2)\left\{\begin{matrix}x^3-y^2-y=\frac{1}{3}&&\\y^3-z^2-z=\frac{1}{3}&&\\z^3-x^2-x=\frac{1}{3}&&\end{matrix}\right.$

 

 

 

Hệ này hệ hoán vị đã có cách giải rõ ràng. Xin trích lại bài giải của bạn nghiemthanhbach như sau

 

Ta có từ phương trình đầu tiên

$\Leftrightarrow x^3=y^2+y+\frac{1}{3}=(y+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}> 0\rightarrow x>0$

Chứng minh tương tự ta suy ra được rằng $x,y,z>0$

Không mất tính tổng quát, ta sẽ xét 2 trường hợp là $x\geq y$ và $y\geq z$

Nếu $x\geq y$ thì ta có: $\Leftrightarrow (y+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}\geq (z+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}\Leftrightarrow y\geq z$

Nếu $y\geq z$ thì ta có: $(z+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}\geq (x+\frac{1}{2})^2+\frac{1}{12}\rightarrow \geq z\geq x$

vậy ta có: $x\geq y\geq z\geq x\rightarrow x=y=z$

$\Leftrightarrow x^3=x^2+x+\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3x^3=3x^2+3x+1\Leftrightarrow 4x^3=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\Leftrightarrow x+1=x\sqrt[3]{4}\Leftrightarrow x(\sqrt[3]{4}-1)=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$

Vậy ta có điều phải chứng minh 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 12-01-2014 - 09:44