Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : $ x^2+y^2+z^2=1$ . CMR:

$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#2
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a+b+c=3$.cmr:

$\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 13-01-2014 - 22:02

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#3
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{ab^{2}+b^{2} }{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2}$

suy ra $\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}{}\geq 6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\geq 6-3=3$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : $ x^2+y^2+z^2=1$ . CMR:

$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$

Ta có: $\sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}=\frac{xy+2z^2}{\sqrt{(xy+2z^2)(1-z^2+xy)}}\geqslant \frac{xy+2z^2}{\frac{(xy+2z^2)+(1-z^2+xy)}{2}}=\frac{2(xy+2z^2)}{z^2+2xy+1}=\frac{2(xy+2z^2)}{z^2+2xy+x^2+y^2+z^2}=\frac{2(xy+2z^2)}{(x+y)^2+2z^2}\geqslant\frac{2(xy+2z^2)}{2(x^2+y^2)+2z^2}=xy+2z^2$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geqslant xy+yz+zx+2(x^2+y^2+z^2)=xy+yz+zx+2(Q.E.D)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh