Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : $ x^2+y^2+z^2=1$ . CMR:
$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : $ x^2+y^2+z^2=1$ . CMR:
$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a+b+c=3$.cmr:
$\sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 13-01-2014 - 22:02
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
$\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{ab^{2}+b^{2} }{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2}$
suy ra $\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}{}\geq 6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\geq 6-3=3$
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : $ x^2+y^2+z^2=1$ . CMR:
$\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geq xy+yz+zx+2$
Ta có: $\sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}=\frac{xy+2z^2}{\sqrt{(xy+2z^2)(1-z^2+xy)}}\geqslant \frac{xy+2z^2}{\frac{(xy+2z^2)+(1-z^2+xy)}{2}}=\frac{2(xy+2z^2)}{z^2+2xy+1}=\frac{2(xy+2z^2)}{z^2+2xy+x^2+y^2+z^2}=\frac{2(xy+2z^2)}{(x+y)^2+2z^2}\geqslant\frac{2(xy+2z^2)}{2(x^2+y^2)+2z^2}=xy+2z^2$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \sqrt{\frac{xy+2z^2}{1-z^2+xy}}\geqslant xy+yz+zx+2(x^2+y^2+z^2)=xy+yz+zx+2(Q.E.D)$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh