Cho a, b, c không âm. Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Bắt đầu bởi Ngoc Hung, 14-01-2014 - 21:43
#1
Đã gửi 14-01-2014 - 21:43
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
#2
Đã gửi 14-01-2014 - 21:47
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
- NguyenKieuLinh và hoangmanhquan thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#3
Đã gửi 15-01-2014 - 17:18
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Theo nguyên lý Dirichle có :$(a-1)(b-1)\geq 0= > 2abc\geq 2ac+2bc-2c= > a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1=(c-1)^2+(a^2+b^2)+2(ac+bc)\geq 2(ab+bc+ac)$
#4
Đã gửi 28-04-2021 - 10:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho a, b, c không âm. Tìm GTNN của $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Giả sử c = min{a,b,c}
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$
Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$
Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm
Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
