Chủ đề này có 8 trả lời

[Kaitou Kid 1412]

1.x,y,z>0,x+y+z=1.CMR:

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{9}{10}$

2.Cho x,y,z>0, xyz=1.CMR

$\frac{x+3}{(x+1)^2}+\frac{y+3}{(y+1)^2}+\frac{z+3}{(z+1)^2} \geq \frac{1}{3}$

[Viet Hoang 99]

 

1.x,y,z>0,x+y+z=1.CMR:

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{9}{10}$

2.Cho x,y,z>0, xyz=1.CMR

$\frac{x+3}{(x+1)^2}+\frac{y+3}{(y+1)^2}+\frac{z+3}{(z+1)^2} \geq \frac{1}{3}$

 

1)
$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \sum \frac{|x|}{x^{2}+1}$

Dễ rồi

[Kaitou Kid 1412]

Đánh giá tiếp theo ntn nữa bạn? nếu dùng AM-GM cho mẫu thì nó sẽ <= 3/2 chứ ko phải 9/10

[hoctrocuanewton]

ta có

$\sum \frac{x}{x^{2}+1}\leq \sum \frac{x}{\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}}$ (1)

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{x}{\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}}\leq\sum \frac{1}{25}(\frac{x}{\frac{2x}{3}}+4.\frac{9}{2}x)=\frac{9}{50}+\frac{18}{25}(x+y+z)= \frac{9}{10}$ (2)

từ (1)(2) suy ra đpcm

[Viet Hoang 99]

Đánh giá tiếp theo ntn nữa bạn? nếu dùng AM-GM cho mẫu thì nó sẽ <= 3/2 chứ ko phải 9/10

AM-GM phải xem điểm rơi chứ bạn. $x=y=z=1/3$

[nguyenhongsonk612]

Bạn hướng dẫn cụ thể cách chọn điểm rơi cho BĐT Cô-si cũng như BĐT AM-GM đi bạn! Cố gắng viết dễ hiểu nhé!

[nam8298]

1. ta có $\frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{3}{10}+\frac{6}{25}(x-\frac{1}{3})$

tương tự cộng theo vế đc đpcm

[nam8298]

2. nếu đề yêu cầu chứng minh $\geq 3$ :

 ta có $\frac{x+3}{(x+1)^{2}}\geq 1+\frac{3}{4}(x-1)$

chứng minh tương tự rồi cộng theo vế đc đpcm

[Viet Hoang 99]

Ở đây đã có cách chọn điểm rơi.