Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$
Hình như $a,b,c$ là các số thực không âm chứ .Nếu là số dương thì do vai trò đối xứng nhau nên dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$ thì $P=\sum \frac{1}{a+b}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Theo bất đẳng thức $I-ran$ có :$\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(\sum ab)}=\frac{9}{4}$
$\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}=\frac{4(\sum a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(\sum a)(\sum ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(a+b)(b+c)(c+a)+4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$(Do thay $1=ab+bc+ac$)
Cộng theo vế 2 bdt trên $= > \sum \frac{1}{(a+b)^2}+\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}\geq 4+\frac{9}{4}=\frac{25}{2}= > (\sum \frac{1}{a+b})^2\geq \frac{25}{4}= > \sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$
Dấu = xảy ra tại $a=0,b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh