Chủ đề này có 3 trả lời

[hihi2zz]

Tính tích phân: $\int_{-1}^{1}\sqrt{x^2+2x+5}dx$

[25 minutes]

Tính tích phân: $\int_{-1}^{1}\sqrt{x^2+2x+5}dx$

Đặt $x+1=t$ $\Rightarrow dx=dt$

Đổi cận $\Rightarrow I=\int_{0}^{2}\sqrt{t^2+4}dt$

Đến đây là nguyên hàm cơ bản rồi 

                   $\int \sqrt{x^2+a}=dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2} \ln (x+\sqrt{x^2+a})+C$

 $\Rightarrow I=\int_{0}^{2}\sqrt{t^2+4}dt=\frac{t}{2}\sqrt{t^2+4}+2 \ln (t+\sqrt{t^2+4}) \left.\begin{matrix} 2\\0 \end{matrix}\right|=\sqrt{8}+3 \ln (2+\sqrt{8})-2 \ln 2$

[hihi2zz]

 

                   $\int \sqrt{x^2+a}=dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2} \ln (x+\sqrt{x^2+a})+C$

 

Cái này chứng minh sao bạn???   

[25 minutes]

Cái này chứng minh sao bạn???   

Sử dụng cái này $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\int \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{x+\sqrt{x^2+a}}dx=\int \frac{d(x+\sqrt{x^2+a})}{x+\sqrt{x^2+a}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a})+C$  (*)

Đặt $I=\int \sqrt{x^2+a}dx$

Sử dụng nguyên ham từng phần ta có 

         $\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x^2+a}\\ dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+a}}\\v=x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a}}=x\sqrt{x^2+a}-\left [ \int \sqrt{x^2+a}dx-\int \frac{adx}{\sqrt{x^2+a}} \right ]=x\sqrt{x^2+a}-I+a\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$

Sử dụng (*) ta có $2I=x\sqrt{x^2+a}+a\ln (x+\sqrt{x^2+a})+C$

            $\Rightarrow I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+a})+C$