Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 19-01-2014 - 07:21

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$


Đứng dậy và bước tiếp

#2 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-01-2014 - 07:53

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$

Hướng giải của mình là như thế này, không biết có giúp ích gì không.

Từ điều kiện đề bài suy ra $a+b+c\leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

Do đó

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Liệu có chứng minh được  $\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\leq 1$ dựa vào $a+b+c\leq 3$ không nhỉ????



#3 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-01-2014 - 07:54

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$

Sorry.Không biết bấm thế nào mà nó lại copy ra nhiều bài thế nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-01-2014 - 07:58


#4 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-01-2014 - 07:54

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-01-2014 - 07:59


#5 nguyenquocthang98

nguyenquocthang98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 19-01-2014 - 08:15

Cho a, b, c dương thỏa mãn: $3+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})=5(a+b+c)$. CMR:$\sum \frac{a^{2}}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leqslant 1$

 

 

Hướng giải của mình là như thế này, không biết có giúp ích gì không.

Từ điều kiện đề bài suy ra $a+b+c\leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

Do đó

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{a^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Liệu có chứng minh được  $\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\leq 1$ dựa vào $a+b+c\leq 3$ không nhỉ????

 

 

Sorry.Không biết bấm thế nào mà nó lại copy ra nhiều bài thế nhỉ

 

 

 

 

 

 

 

chắc là: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ chứ ko phải ;là:'

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

nếu thê này thì BĐT sai ở $x=\frac{1}{2};y= \frac{1}{4};z=\frac{9}{4}$

sai đề.

nếu là thế này $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

 

  thif chỉ cần làm như

 

 

lahantaithe99

 

là OK


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquocthang98: 19-01-2014 - 08:16


#6 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-01-2014 - 08:18

Nhưng nếu như bạn nói thì đâu còn cần giả thiết ở trên nữa



#7 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 19-01-2014 - 17:47

chắc là: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ chứ ko phải ;là:'

$\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

nếu thê này thì BĐT sai ở $x=\frac{1}{2};y= \frac{1}{4};z=\frac{9}{4}$

sai đề.

nếu là thế này $\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

 

  thif chỉ cần làm như

 

 

lahantaithe99

 

là OK

Đề chắc chắn đúng bạn ơi!


Đứng dậy và bước tiếp




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh