Chủ đề này có 145 trả lời

[Yagami Raito]

Bài làm của toán thủ $\boxed{MSS004}$    Nguyễn Trung Hiếu      (nick diễn đàn: nguyentrunghieua)

 

  $\cdot$Hệ phương trình đã cho tương đương $\left\{\begin{matrix} 2x^2+3y^2-5xy=0 (1)& & \\ 4x^2-6x+1-y^2+3y=0 (2)& & \end{matrix}\right.$

 

     Ý tưởng: Bài toán trên không phải quá khó, nếu ta biết quan sát kỹ từ phương trình $(1)$ : $2x^2+3y^2-5xy=0$ 

 

              Ta coi phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn là $x$ thì $\Delta _{x}=y^2$, nên phương trình $(1)$ phân tích được thành $(x-y)(2x-3y)=0$

 

Từ đó ta đã tìm được mấu chốt của bài toán. Đến đây ta có lời giải bài toán:

 

    Lời giải:   

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^2+12y^2-20xy=0 (1)& & \\ 4x^2-6x+1=y^2-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$

 

     Phương trình $(1)$ tương đương: $4(x-y)(2x-3y)=0$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y &(\star) & \\ x=\dfrac{3}{2}y &(\star \star) & \end{bmatrix}$

 

        $\ast$Giải $(\star)$        .Với  $x=y$ thay vào $(2)$ ta được $3x^2-3x+1=0$ ở đây $\Delta _{x}=-3$ nên phương trình vô nghiệm.

 

        $\ast$Giải $(\star \star)$. Với $x=\dfrac{3}{2}y$ thay vào $(2)$ ta được $8y^2-6y+1=0$ $\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\dfrac{1}{2} & & \\ y=\dfrac{1}{4} & & \end{bmatrix}$

 

                   $\triangleright$Với $y=\dfrac{1}{2}$ thay vào $(\star \star)$ ta được $x=\dfrac{3}{4}$

 

                   $\triangleright$Với $y=\dfrac{1}{4}$ thay vào $(\star \star)$ ta được $x=\dfrac{3}{8}$

 

 

Vậy Hệ Phương Trình đã cho có 2 nghiệm là $(x,y)=[(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}),(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2})]$

 

                        Trên đây là lời giải của em. Chúc cuộc thi sẽ thành công tốt đẹp. Em xin hết !

 

__________________________
Dài dòng văn tự x0ng rồi chỗ cuối sai nghiệm.....

Chú ý rút kinh nghiệm.

$d = 8$

$S = 40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:39

[minhlong02121999]

 

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

$(I)\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1)\\ 4x^2-6x+1=y^{2}-3y(2) \end{matrix}\right.$

Ta có:(1) $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-2xy-3xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow 2x-3y=0\vee x-y=0$

              $\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x\vee y=x$

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}x^{2}-2x$

$\Leftrightarrow \frac{32}{9}x^{2}-4x+1=0$ (3)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4.\frac{32}{9}.1=\frac{16}{9}> 0$

Vậy (3) có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{8}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{4}$

Thay $x=\frac{3}{8}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$

        $x=\frac{3}{4}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy (3) có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

Thay $y=x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ (4)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4.3.1=-3< 0$

Vậy (4) vô nghiệm

Vậy $(I)$ có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

[minhlong02121999]

 

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

$(I)\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0(1)\\ 4x^2-6x+1=y^{2}-3y(2) \end{matrix}\right.$

Ta có:(1) $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-5xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{2}-2xy-3xy=0$

              $\Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0$

              $\Leftrightarrow 2x-3y=0\vee x-y=0$

              $\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x\vee y=x$

Thay $y=\frac{2}{3}x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}x^{2}-2x$

$\Leftrightarrow \frac{32}{9}x^{2}-4x+1=0$ (3)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4.\frac{32}{9}.1=\frac{16}{9}> 0$

Vậy (3) có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{8}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{\frac{16}{9}}}{2.\frac{32}{9}}=\frac{3}{4}$

Thay $x=\frac{3}{8}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$

        $x=\frac{3}{4}$ vào $y=\frac{2}{3}x$ ta được $y=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$

Vậy (3) có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

Thay $y=x$ vào (2) ta được

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ (4)

$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4.3.1=-3< 0$

Vậy (4) vô nghiệm

Vậy $(I)$ có 2 cặp nghiệm $(x;y)=\begin{Bmatrix} (\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \end{Bmatrix}$

_______________
Không cần tỉ mỉ thế này đâu em ạ :'(

$d = 10$

$S = 42$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:37

[anhtukhon1]

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y& \end{matrix}\right.$

Xét (1)$\Leftrightarrow 8x^{2}+12y^{2}-8xy-12xy=0\Leftrightarrow 8x(x-y)-12y(x-y)=0\Leftrightarrow 4(x-y)(2x-3y)=0\Leftrightarrow$

Vậy hoặc x=y hoặc x=1,5y

với x=y ta thế vào $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$$\Leftrightarrow 4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$ vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Với x=1,5y ta có $4x^{2}-6x+1=(1,5x)^{2}-4,5x\Leftrightarrow 1,75x^{2}-1,5x+1=0$ cũng vô nghiệm vì $\Delta$ nhỏ hơn 0

Vậy hệ phương trình vô nghiệm thực

________________________________________

Miễn bàn

$S = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:36

[Trang Luong]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y (2)& & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

Toán thủ: Phạm Anh Quân

Ta có: 

$(1)\Leftrightarrow 2x^{2}-5xy+3y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$

+,Nếu x=y, thay vào (2),

$\Rightarrow 3x^{2}-3x+1=0$  (phương trình vô nghiệm)

+,Nếu 2x=3y, thay vào (2),

$\Rightarrow 9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow (4y-1)(2y-1)=0$

-,Nếu $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

-,Nếu $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

Vậy hệ phương trình có 2 cặp nghiệm $(x;y)\in \left \{ (\frac{3}{8};\frac{1}{4});(\frac{3}{4};\frac{1}{2}) \right \}$

_____________________
$d = 10$

$S = 40$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:35

[lovemathforever99]

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

 

 

Cách 2 (cách này đơn giản cũng giống cách 1 nhưng pt 1 dễ phân tích thành nhân tử hơn.)

Điều kiện (cách 1 quên chưa đặt đk, mong btc thông cảm) :$x,y$ thuộc $\mathbb{R}$

• Xét $y=0$ Từ pt thứ nhất $\Rightarrow x=0$

Thay $(x;y)=(0;0)$ vào pt thứ 2, thấy không thỏa mãn nên $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của hệ.

• Xét $y\neq$0. Chia 2 vế của pt 1 cho $y^{2}$:

$2(\frac{x}{y})^{2}-5\frac{x}{y}+3=0$(*)

Đặt $\frac{x}{y}=t$(t thuộc $\mathbb{R}$). PT (*) trở thành:

$2t^{2}-5t+3=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(2t-3)=0$

 

$\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{3}{2}$

 

+Với $t=1$$\Rightarrow x=y$

PT 2 $\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =3^{2}-4.3=-3 < 0$

Suy ra hệ vô nghiệm.

 

+ Với $t=\frac{3}{2}\Rightarrow 2x=3y$

PT 2 $\Rightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Delta =3^{2}-8.1=1$

PT có 2 nghiệm phân biệt :

$y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

$y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

 

Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y)=(\frac{3}{4};\frac{1}{2});(\frac{3}{8};\frac{1}{4})$

____________
Chỉ chấp nhận 1 cách

$d = 10$

$S = 46$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:34

[nghiemthanhbach]

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $(\frac{1}{2};\frac{1}{4})$

Thử lại vào hệ phương trình nhận $\begin{bmatrix} x=0.75\\ y=0.5 \end{bmatrix}$ là nghiệm của phương trình

p/s:
Cách của em là tính hệ thức liên hệ giữa x và y thông qua viete rồi xét trường hợp nghiệm

Có thể phá trị tuyệt đối ở trường hợp này không ảnh hưởng đến khi làm vì $x;y$ không thể âm

Em làm tắt phần lý luận     
_________
Đã chấm bài ở dưới!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:32

[canhhoang30011999]

$\left\{\begin{matrix} & 8x^{2}+12y^{2}-20xy= 0&(1) \\ & 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 2x^{2}-5xy+3y^{2}= 0$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-2xy-3xy+3y^{2}= 0$

$\Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)= 0$

$\Leftrightarrow$ x=y hoặc 2x=3y

Trường hợp 1: x=y phương trình (2) trở thành

$4y^{2}-6y+1= y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 3y^{2}-3y+1=0$

$\Delta = 3^{2}-4.3.1= -3< 0$

nên phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2 :2x=3y phương trình (2) trở thành

$9y^{2}-9y+1= y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1= 0$

$\Delta^{'} = 3^{2}-8.1= 1$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$y_{1}= \frac{3+1}{8}= 0.5$,$y_{2}= \frac{3-1}{8}= 0.25$

Với $y= 0.5\Rightarrow x= 0.75$

Với $y= 0.25\Rightarrow x= 0.375$

$y= 0.25\Rightarrow x= 0.375$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (0.75,0.5) và (0.375,0.25)

_________________
$d = 8$ (Trình bày...)

$S = 33$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:32

[eatchuoi19999]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

BÀI LÀM

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 (1)& & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) & & \end{matrix}\right.$$

 

Xét (1): $8x^2-20xy+12y^2=0$

$\Leftrightarrow 2x^2-5xy+3y^2=0$

$\Leftrightarrow (2x-3y)(x-y)=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

 

-) Trường hợp 1: $x=y$, thay vào (2) ta có: $4x^2-6x+1=x^2-3x$

$\Leftrightarrow 3x^2-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3\left ( x-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{1}{4}=0$ (vô lí)

 

-) Trường hợp 2: $2x=3y\Leftrightarrow y=\frac{2x}{3}$, thay vào (2) ta có: $4x^2-6x+1=\frac{4x^2}{9}-2x$

$\Leftrightarrow 32x^2-36x+9=0$

$\Leftrightarrow (4x-3)(8x-3)=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$ hoặc $x=\frac{3}{8}$

          +) Nếu $x=\frac{3}{4} \Rightarrow y=\frac{2.\frac{3}{4}}{3}=\frac{1}{2}$

         

          +) Nếu $x=\frac{3}{8} \Rightarrow y=\frac{2.\frac{3}{8}}{3}=\frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)\in\left \{ \left ( \frac{3}{4} ;\frac{1}{2} \right );\left ( \frac{3}{8} ;\frac{1}{4} \right )\right \}$

________________
$d = 10$

$S = 33$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:28

[Master Key 99]

+Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12y^{2}-20.0.y=0\Rightarrow 12y^{2}=0\Rightarrow y=0$ .Vậy x=y=0

+Xét x$\neq 0\Rightarrow 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8 +12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ (Chia cả 2 vế cho $x^{2}\neq 0$)

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ phương trình sẽ là $8+12t^{2}-20t=0\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1: t=1$\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow y=x$ thay y=x vào phương trình $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$ ta có $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-x^{2}+3x=0\Rightarrow 3x^{2}-3x+1=0\Rightarrow 3(x^{2}-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0\Rightarrow 3(x^{2}-\frac{1}2{})^{2}+\frac{1}{4}=0 Do 3(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+ \frac{1}{2}>0$ ( vô lí) $\Rightarrow$ loại

Trường hợp 2: $t=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}.x$ thay vào phương trình ta có:$4x^{2}-6x+1=(\frac{2}{3}.x)^{2}-3.\frac{2}{3}x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-\frac{4}{9}x^{2}+x=0\Rightarrow \frac{32}{9}x^{2}-5x+1=0\Rightarrow \frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}=0$

Do$\frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}>0$(vô lí)$\Rightarrow$ loại

Vậy x=y=0

[phatthemkem]

Tuy không thi nhưng cũng giải cho vui

Phương trình đầu tương đương với: $\left ( 2x-3y \right )\left ( x-y \right )=0$

$*)$ Với $x=y$ thay vào phương trình thứ hai, ta được: $3x^2-3x+1=0$ (Vô nghiệm)

$*)$ Với $2x=3y$, suy ra $4x^2=9y^2$, thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: $8y^2-6y+1=0$

   Phương trình này có nghiệm $y=\frac{1}{2}$ hoặc $y=\frac{1}{4}$

   $+)$ $y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

   $+)$ $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

   Thử lại thỏa mãn

Vậy hệ có nghiệm $\left ( \frac{3}{8};\frac{1}{4} \right ),\left ( \frac{3}{4};\frac{1}{2} \right )$.

(Đề vòng này dễ nhỉ)

_____________________________________
:okay:
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:26

[buiminhhieu]

MSS 13:Bùi Minh Hiếu

Mở Rộng 1:

Tổng quát

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+bxy+cy^{2}=0(I) & \\ mx^{2}+nx+py^{2}+qy+k=0(II)& \end{matrix}\right.$($b^{2}\geq 4ac;a\neq 0$)

Giải:

Từ phương trình 

$(I)\Leftrightarrow ax^{2}+bxy+cy^{2}=0$

Xét biệt số $\Delta =y^{2}(b^{2}-4ac)$

Do đó $\begin{bmatrix} x=\frac{y(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a} & \\ x=\frac{y(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a}& \end{bmatrix}$

Thay lần lượt các giá trị của $x$ theo $y$ vào phương trình $(II)$ ta được phương trình bậc 2 ẩn y từ đó ta dễ dàng tìm được y và x

Ta có x và y thỏa mãn hệ(lưy ý hệ có tối đa 4 nghiệm)

_______________________
Không chấp nhận MR này

$D_{mr} = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:25

[angleofdarkness]

Bài làm của MSS54 (đã chỉnh sửa latex)

 

Ta có: $\left\{\begin{matrix}4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \\ 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x^2-5xy+3y^2=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ 

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}(x-y)(2x-3y)=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x-y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ $\left \langle 1 \right \rangle$ hoặc $\left\{\begin{matrix}2x-3y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$ $\left \langle 2 \right \rangle$

 

- Xét hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ , thay x = y vào phương trình dưới của hệ ta được $4y^2-6y+1=y^2-3y.$ $\Leftrightarrow 3y^2-3y+1=0.$ (1)

 

Phương trình (1) có $\Delta=(-3)^2-4.3.1=-3<0$ nên Phương trình (1) vô nghiệm, tức hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ vô nghiệm.

 

$\Rightarrow$ hệ đã cho vô nghiệm. ( * )

 

- Xét hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ , thay 2x = 3y vào phương trình dưới của hệ ta được $9y^2-9y+1=y^2-3y$ $\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0.$ (2)

 

$\Delta'=(-3)^2-8.1=1$ $\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm $y=\left (\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right )$

 

$\Rightarrow$ hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ có hai nghiệm $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ (**)

 

Kết hợp ( * ) và (**) $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$

_______________________________

Nên sử dụng chức năng "Xem bài trước" của diễn đàn....

$d = 8$

$S = 33$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:24

[Master Key 99]

+Xét x=0 $\Rightarrow 8.0^{2}+12y^{2}-20.0.y=0\Rightarrow 12y^{2}=0\Rightarrow y=0$ Thay x=y=0 vào phương trình $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y\Rightarrow 4.0^{2}-6.0+1= 0^{2}-3.0\Rightarrow 1=0$ (vô lí)$\Rightarrow$ loại

+Xét x$\neq 0\Rightarrow 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Rightarrow 8 +12\frac{y^{2}}{x^{2}}-20\frac{y}{x}=0$ (Chia cả 2 vế cho $x^{2}\neq 0$)

 Đặt $\frac{y}{x}=t$ phương trình sẽ là $8+12t^{2}-20t=0\Rightarrow 12t(t-1)-8(t-1)=0\Rightarrow (t-1)(12t-8)=0\Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Trường hợp 1: t=1$\Rightarrow \frac{y}{x}=1\Rightarrow y=x$ thay y=x vào phương trình $4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y$ ta có $4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-x^{2}+3x=0\Rightarrow 3x^{2}-3x+1=0\Rightarrow 3(x^{2}-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}=0\Rightarrow 3(x^{2}-\frac{1}2{})^{2}+\frac{1}{4}=0 Do 3(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+ \frac{1}{2}>0$ ( vô lí) $\Rightarrow$ loại

Trường hợp 2: $t=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}.x$ thay vào phương trình ta có:$4x^{2}-6x+1=(\frac{2}{3}.x)^{2}-3.\frac{2}{3}x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x\Rightarrow 4x^{2}-6x+1-\frac{4}{9}x^{2}+x=0\Rightarrow \frac{32}{9}x^{2}-5x+1=0\Rightarrow \frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}=0$

Do$\frac{32}{9}(x^{2}-2.\frac{16}{45}x^{2}+\frac{256}{2025})+\frac{10033}{18225}>0$(vô lí)$\Rightarrow$ loại

Vậy phương trình vô nghiệm.

________________________
Sai khá trầm trọng

$S = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:23

[nghiemthanhbach]

Bài làm MSS trận 2

Cách 1:

Ta có phương trình $(1)$: $8x^2-20xy+12y^2=0$$\rightarrow \frac{3}{2}y^2-\frac{5}{2}xy+x^2=0$

Áp dụng định lý Viete có: $\Delta =(-\frac{5}{2}y)^2-4.(x^2).(\frac{3}{2})=\frac{1}{4}.y^2\rightarrow \sqrt{\Delta }=\frac{|y|}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}$ ( ở đây coi $x$ là ẩn cần giải và $y$ là một " hằng số " tự tạo trước để tạo hệ thức chứ không sử dụng như hằng số thật sự)

TH1: $x\leq 0$ $\rightarrow y\leq 0\rightarrow (1):VT\geq 0\rightarrow x;y=0$

Nhưng $(x;y)=(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình thứ 2 nên không thoả

TH2: $x> 0\rightarrow y>0$

$\rightarrow x=\frac{\frac{5}{2}y\pm \frac{1}{2}|y|}{2}\rightarrow x=\frac{3}{2}y\vee y=x$

Xét $x=y$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-20x^2+12x^2=0\\ 4x^2-6x+1=x^2-3x \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x^2=0\\ 3x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.$

nhưng phương trình thứ 2 ở trên lại không có nghiệm nên bỏ trường hợp này

Xét $x=\frac{3}{2}y$

Phương trình ban đầu trở thành

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} 18y^2-30y^2+12y^2=0\\ 9y^2-9y+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0y^2=0\\ 8y^2-6y+1=0 \end{matrix}\right.$

 

Xét phương trình $8y^2-6y+1=0$ theo viêt có nghiệm là $x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{4}$

Thử lại vào hệ phương trình ta nhận $(x;y)=(0.75;0.5)$ là nghiệm

Cách 2: ------------------------------------Mở rộng thêm cách ---------------------------------------------

Có thể nhẩm ngay ra nghiệm là $0,75;0.5$ như trên và ta sẽ nhóm nhân tử =.=! theo công thức $Ax^2+Bxy+Cx^2=A(x-x_1)(x-x_2)$

$\left\{\begin{matrix} 8x^2-20xy+12y^2=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8(x-\frac{3}{2}y)(x-y)=0\\ 4x^2-6x+1=y^2-3y \end{matrix}\right.$

Xét tương tự như trên

Th1: $x=y$ vô lý

Th2: $x=\frac{3}{2}y$ tương tự như cách 1 ta có điều phải chứng minh

P/S: Chủ chốt dạng hpt này là phải tạo ra tích và xét trường hợp liên hệ giữa $x;y$ rồi suy ra kết luận

Có thể dùng định lý Viete để giải hệ bằng cách cho sẵn 1 trong 2 ẩn là $x;y$ là " hằng số " dù chưa có để tạo hệ thức giữa chúng rồi chia TH nhỏ ra giải

   

___________________
Trình bày chưa tốt, cách 1 mình cho $6$ điểm, đã thế nghiệm còn sai?

$d = 5$

$S = 27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:30

[Rias Gremory]

Mở rộng :

Hệ Phương trình tổng quát :

$\left\{\begin{matrix} \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0 \\ ax^{2}+bx+c=dy^{2}+ey+f \end{matrix}\right.$  (*) 

với $\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b,c,d,e,f$ là hằng số, $c\neq f$

Phương trình (1) hệ (*) : $\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0$

Nếu $y=0\Rightarrow x=0$ . Thay vào Phương trình (2) $\Rightarrow c=f$ (loại)

Vậy $y\neq 0$ . Chia cả $2$ vế của phương trình (1) cho $y^{2}$ ta được :

$\alpha (\frac{x}{y})^{2}+\gamma \frac{x}{y}+\beta =0$ ( ĐK có nghiệm $\gamma ^{2}-4\alpha \beta \geq 0$ )

Đặt $t=\frac{x}{y}$ . $\Leftrightarrow \alpha t^{2}+\gamma t+\beta =0$

$\Delta =\gamma ^{2}-4\alpha \beta$

$t=\frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$x=\frac{y(-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta) }}{2\alpha }$

Thế $x$ vào phương trình (2) rồi giải phương trình bậc $2$ thuần túy.

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$\Leftrightarrow x=\frac{y(-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta })}{2\alpha }$

Đến đây cũng thế $x$ vào Phương trình (2) như trên .

 

[lethanhson2703]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0     (1) & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.(2)$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

 

Ta có :

Phương trình 1$\Leftrightarrow$ $4(x-y).(2x-3y) = 0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

Trường hợp 1: $x=y$

Thay vào phương trình (2) ta có: 

 $4.x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$                                    (*)

$\Leftrightarrow 3.x^{2}-3x+1=0$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow 3.(x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$

Xét $x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ =$(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}\geq \frac{1}{12}> 0$

$\Rightarrow$ phương trình (*) vô nghiệm . vậy nếu x=y thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Trường hợp 2: $2x=3y$

$\Rightarrow$ $y=\frac{2}{3}.x$

Thay vào phương trình (2) ta có:

$4.x^{2}-6x+1=\frac{4}{9}.x^{2}-x \Leftrightarrow \frac{32}{9}.x^{2}-5x+1=0$  (**)

Xét $\Delta$ của phương trình (**) ta có

$\Delta$=$5^{2}-4.\frac{32}{9}.1> 0$

$\Rightarrow$ Nghiệm x của hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$ là: $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ hoặc $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$

Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{2}{3}x=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$

 

Vậy  Nếu $x={\frac{45+3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15+\sqrt{97}}{32}$

         Nếu $x={\frac{45-3.\sqrt{97}}{64}}$ thì $y=\frac{15-\sqrt{97}}{32}$
_______________________
Thật sự với bài dễ thế này thì mình chấm theo kết quả với trình bày là chính....

$S = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:19

[Rias Gremory]

Mở rộng :

Hệ Phương trình tổng quát :

$\left\{\begin{matrix} \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0 \\ ax^{2}+bx+c=dy^{2}+ey+f \end{matrix}\right.$  (*) 

với $\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b,c,d,e,f$ là hằng số, $c\neq f$

Phương trình (1) hệ (*) : $\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy=0$

Nếu $y=0\Rightarrow x=0$ . Thay vào Phương trình (2) $\Rightarrow c=f$ (loại)

Vậy $y\neq 0$ . Chia cả $2$ vế của phương trình (1) cho $y^{2}$ ta được :

$\alpha (\frac{x}{y})^{2}+\gamma \frac{x}{y}+\beta =0$ ( ĐK có nghiệm $\gamma ^{2}-4\alpha \beta \geq 0$ )

Đặt $t=\frac{x}{y}$ . $\Leftrightarrow \alpha t^{2}+\gamma t+\beta =0$

$\Delta =\gamma ^{2}-4\alpha \beta$

$t=\frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

 

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

$x=\frac{y(-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta) }}{2\alpha }$

Thế $x$ vào phương trình (2) ta có : 

$y^{2}\left [ \frac{a(-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta })^{2}}{4\alpha ^{2}}-d \right ]+y\left [ \frac{b(-\gamma +\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta })}{2\alpha }-e \right ]+(c-f)=0$

Đây là Phương trình bậc $2$ thuần túy. Từ PT tìm được $y$ suy ra $x$

 

$\bullet$ $\frac{x}{y}=\frac{-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta }}{2\alpha }$

 

$\Leftrightarrow x=\frac{y(-\gamma -\sqrt{\gamma ^{2}-4\alpha \beta })}{2\alpha }$

Giải giống như trường hợp trên. 

 

P/s : Em post lại phần mở rộng, bài mở rộng trên có viết tắt quá . @@@~~~~

___________________
$D_{mr} = 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:19

[LumiseEdireKRN]

MSS19

Mở Rộng

Giải hệ phương trình (ẩn là $x,y$)

$\left\{\begin{matrix}kmpx^{2}+knqy^{2}+(kmq+knp)xy=0 & & \\ax^{2}+bx+c=uy^{2}+vy & & \end{matrix}\right.$

($a,b,c,m,n,p,q,u,v \epsilon Q$; $a,b,c,m,n,p,q,u,v,k \neq 0$)

__________________
Không chấp nhận nổi =))

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:18

[4869msnssk]

Rất xin lỗi các toán thủ đã vì post đề chậm trễ, sau đây là đề thi trận 2 MSS:

Đề của toán thủ : Best Friend

 

$$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right.$$

Thời gian làm bài tính từ: 23h ngày 24/1/2014

ta có:

$8x^{2}+12y^{2}-20xy=0\Leftrightarrow 2x^{2}+3y^{3}-5xy=0\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)=0$                            (1)

từ (1) ta có hai trường hợp :

+) trường hợp 1: nếu x=y thay vào phương trình thứ hai ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

khi đó phương trình vô nghiệm

+)trường hợp 2: nếu $2x=3y$ 

thay vào phương trình đầu ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y\leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

khi ấy phương trình có hai nghiệm là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{4}$

vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2}$ và$\frac{1}{4}$

________________________________

Thiếu trường hợp $y = 0 $
Trình bày lủng củng, kết luận rất "mơ hồ"

$d = 5$

$S = 21.3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-02-2014 - 23:16