Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenquocthang98]

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}$

 với a,b dương..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquocthang98: 25-01-2014 - 22:18

[banhgaongonngon]

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}$

 với a,b dương..

 

Trường hợp $a=b$, bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

Trong trường hợp còn lại, ta thấy

$\mathrm{BDT}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq \frac{(a-b)^{2}\left ( 3a^{2}+3b^{2}+10ab \right )}{4(a+b)(a^{2}+6ab+b^{2})}$

$\Leftrightarrow 4(a+b)\left ( a^{2}+6ab+b^{2} \right )\geq \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}\left ( 3a^{2}+3b^{2}+10ab \right )$

$\Leftrightarrow 4(a+b)^{3}+16ab(a+b)\geq 3(a+b)^{3}+4ab(a+b)+6\sqrt{ab}(a+b)+8ab\sqrt{ab} $

$\Leftrightarrow (a+b)^{3}+12ab(a+b)-6\sqrt{ab}(a+b)^{2}-8ab\sqrt{ab}\geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{6}\geq 0$