Đến nội dung

Hình ảnh

$m_{a}+m_{b}+m_{c}+l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq 2p\sqrt{3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

  Nhân dịp cuối năm mình gửi tặng mọi người bài toán này(Nhớ làm đêm nay rồi đợi giao thừa luôn nha), chúc tất cả thành viên VMF một năm hạnh phúc .................

  Bài toán :Cho tam giác ABC với $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là 3 đường trung tuyến của tam giác. $l_{a},l_{b},l_{c}$ lần lượt là 3 đường phân giác của tam giác .Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác .

        CMR :$m_{a}+m_{b}+m_{c}+l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq 2p\sqrt{3}$



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Ai có ý tưởng cho bài này 



#3
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

Đầu tiên,ta sẽ CM:$l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq p\sqrt{3}$



Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 02-02-2014 - 14:58


#4
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Chứng minh $l_a+l_b+l_c\leq p\sqrt{3}$ thì dễ nhưng vô nghĩa vì $m_a+m_b+m_c\geq l_a+l_b+l_c$.

Bài này tư tưởng là bài THTT số gần đây : $m_a+m_b+l_c\leq p\sqrt{3}$ sau đó chứng minh $l_a+l_b+m_c\leq p\sqrt{3}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#5
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

uk đúng rồi@@



#6
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

-Trước hết ta chứng minh :$l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$.Gọi a,b,c theo thứ tự là độ dài 3 cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC

Theo công thức đường phân giác và định lý Cos trong tam giác  có:

 $l_{b}=\frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{a+c}\leq \frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{2\sqrt{ac}}=\sqrt{ac}.cos\frac{B}{2}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+cosB}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{(a+c)^2-b^2}{2ac}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4}}=\sqrt{\frac{2p.2(p-b)}{4}}=\sqrt{p(p-b)}$ $= > l_{b}\leq \sqrt{p(p-b)}$

Tương tự $l_{c}\leq \sqrt{p(p-c)}$ 

$= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}$(1)

Theo công thức trung tuyến có:$4m_{a}^2=2(b^2+c^2)-a^2=(b+c)^2-(a^2-(b-c)^2)=(b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(b+c+\sqrt{a^2-(b-c)^2})\leq (b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(a+b+c)=2p(b+c-\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)})=2p(b+c-2\sqrt{(p-b)(p-c)})=2p(2p-(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2)= > p(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2\leq 2p^2-2m_{a}^2= > \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}$  (2)

 Từ (1),(2) $= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq m_{a}+\sqrt{2}.\sqrt{p^2-m_{a}^2}\leq \sqrt{3(m_{a}^2+p^2-m_{a}^2)}=\sqrt{3p^2}=p\sqrt{3}$(Do áp dụng bđt bunhiacopxki)

 $= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$(3)

-Tiếp theo ta CM :$m_{b}+m_{c}+l_{a}\leq p\sqrt{3}$

Ta có:$m_{b}+m_{c}=\sqrt{\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}}+\sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh