Chủ đề này có 1 trả lời

[summoned skull]

Tính tích phân $\int_{1}^{\frac{1+\sqrt5}{2}} \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}$

Chúc mừng năm mới mọi người trên diễn đàn ạ!

[E. Galois]

Gọi $I$ là tích phân cần tính:

$$I = \int_{1}^{\frac{1+\sqrt5}{2}} \dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}dx=\int_{1}^{\frac{1+\sqrt5}{2}} \dfrac{1}{\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2+3}d\left ( x-\frac{1}{x} \right )$$

Đặt $x=\sqrt{3}\tan t, t \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$. Ta có:

$$x = 1 \Leftrightarrow \sqrt3 \tan t = 1 \Leftrightarrow  t = \frac{\pi}{6}$$

$$x=\frac{1+\sqrt5}{2}\Leftrightarrow \tan t = \frac{1+\sqrt5}{2\sqrt3} \Leftrightarrow  t = \alpha$$

Do đó

$$I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\alpha} \dfrac{\sqrt 3 }{3\cos^2t(\tan^2t + 1)}dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\alpha} \dfrac{\sqrt 3 }{3}dt = \dfrac{\sqrt 3 }{3} \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right)$$