2 replies to this topic

[maitram]

Nếu A là ma trận vuông cấp 2 có 2 trị riêng phân biệt là a , b . Chứng minh:

$A^{n}=\frac{a^{n}}{a-b}(A-bI)+\frac{b^{n}}{b-a}(A-aI)$

[vo van duc]

Xin hỏi chủ topic một điều là: "n ở đây là số như thế nào?"

Nếu chứng minh đẳng thức với mọi n là số nguyên dương nên rất tự nhiên ta nghĩ đến việc chứng minh bằng quy nạp. Tuy nhiên trong quá trình chứng minh ta nên chuyển đẳng thức cần chứng minh về dạng $$A^n=a_n.A+b_n.I$$ cho đơn giản. Đồng thời ta phải sử dụng đến giả thiết "Ma trận A có hai trị riêng phân biệt a, b".

Cụ thể:

A là ma trận vuông cấp hai có hai trị riêng phân biệt $a,b$ nên có đa thức đặc trưng là $$p(x)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$$
Áp dụng định lý Caley-Haminton ta có: $$A^2=(a+b)A-abI$$
Đây là mấu chốt trong phép chứng minh này. Chúc bạn thành công!

Edited by vo van duc, 08-02-2014 - 12:59.

[YeuEm Zayta]

Xin hỏi chủ topic một điều là: "n ở đây là số như thế nào?"

Nếu chứng minh đẳng thức với mọi n là số nguyên dương nên rất tự nhiên ta nghĩ đến việc chứng minh bằng quy nạp. Tuy nhiên trong quá trình chứng minh ta nên chuyển đẳng thức cần chứng minh về dạng $$A^n=a_n.A+b_n.I$$ cho đơn giản. Đồng thời ta phải sử dụng đến giả thiết "Ma trận A có hai trị riêng phân biệt a, b".

Cụ thể:

A là ma trận vuông cấp hai có hai trị riêng phân biệt $a,b$ nên có đa thức đặc trưng là $$p(x)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$$
Áp dụng định lý Caley-Haminton ta có: $$A^2=(a+b)A-abI$$
Đây là mấu chốt trong phép chứng minh này. Chúc bạn thành công!

Tiếp theo bạn dùng qui nạp chứng minh đẳng thức đầu bài