Chủ đề này có 1 trả lời

[cuongtoanhoc]

cho tam giác $ABC$,$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp,$G$ là trọng tâm
CM $OG=\frac{1}{3}.\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

từ đó suy ra
$sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}\leq \frac{9}{4}$

và
$sinA+sinB+sinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Cách gõ công thức Toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 03-08-2015 - 13:17

[LzuTao]

cho tam giác ABC,O là tâm đường tròn ngoại tiếp,G là trọng tâm
CM OG=$\frac{1}{3}\sqrt{9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

từ đó suy ra
$sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C\leq \frac{9}{4}$

và
$sinA+sinB+sinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\\\Rightarrow OG^2=\frac{1}{9}\left (OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} \right )\\=\frac{1}{9}\left ( 3R^2+\sum \left (OA^2+OB^2-AB^2  \right ) \right )=\frac{1}{9}\left (9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})  \right )\\\Rightarrow OG=\frac{1}{3}\sqrt{9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

 

Ta có: $OG\ge 0\Leftrightarrow 9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\ge 0\Leftrightarrow 9R^{2}-4R^{2}\left ( \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C \right )\ge 0\\\Leftrightarrow \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C\leq \frac{9}{4}$

 

$\frac{9}{4}\ge \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C \ge \frac{\left ( \sin A+\sin B+\sin C \right )^2}{3}\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C \le \frac{3\sqrt3}{2}$