Chủ đề này có 10 trả lời

[Binh Le]

Cho a,b,c là các số thực dương

Cmr  $a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 09-02-2014 - 21:56

[Kaito Kuroba]

Cho a,b,c là các số thực dương

Cmr  $a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

 

 

 

 

$\sum \left(a\sqrt{bc}+a\sqrt{bc}+b^2 \right)\geq 3\sum \left(ab+bc+ca \right)$

 

giờ ta cần chứng minh: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

C/m:

$\sum \left( ab+bc\right)\geq 2\sum ab$

đến đây chắc OK rôi!

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 11:48

[Kaito Kuroba]

Ghi rõ ra đi cậu ,làm úp  mở vậy ai hiểu nổi ,latex còn lỗi nữa .Nhìn vô bó tay luôn !! giải thì ghi đàng hoàng ,rõ ràng dùm nhé .

Thân

 

OK. mình sẽ giải thích rõ ràng hơn.

 

áp dung AM-GM cho 3 số:

 

$a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2\geq 3\sqrt[3]{a\sqrt{ab}.a\sqrt{ab}.b^2}=3ab
\Rightarrow \sum \left(a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2 \right)\geq 3\left(\sum ab \right)\Leftrightarrow \sum a^2+2a\sqrt{bc}\geq 3\sum ab$

 

 

 

bây giờ để C/m bđt, thì chúng ta phải đi chứng minh:

$\sum \left(ab+bc \right)\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

 

ta đí Cm:

ta có:$ab+bc\geq 2\sqrt{ab.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

từ đây ta được:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

 

lần này chắc bạn hiểu rồi nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 13:46

[kfcchicken98]

 đầu tiên, sorry vì mình giải hơi khó hiểu.

OK. mình sẽ giải thích rõ ràng hơn.

 

áp dung AM-GM cho 3 số:

 

$a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2\geq 3\sqrt[3]{a\sqrt{ab}.a\sqrt{ab}.b^2}=3ab
\Rightarrow \sum \left(a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2 \right)\geq 3\left(\sum ab \right)\Leftrightarrow \sum a^2+2a\sqrt{bc}\geq 3\sum ab$

 

 

 

bây giờ để C/m bđt, thì chúng ta phải đi chứng minh:

$\sum \left(ab+bc \right)\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

 

ta đí Cm:

ta có:$ab+bc\geq 2\sqrt{ab.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

từ đây ta được:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

 

lần này chắc bạn hiểu rồi nhỉ!

giải sai ngay từ bước đầu tiên. Đề bài không có cái gì là a căn ab cả, không thể thay đổi đề bài thành dữ kiện khác

[Kaito Kuroba]

giải sai ngay từ bước đầu tiên. Đề bài không có cái gì là a căn ab cả, không thể thay đổi đề bài thành dữ kiện khác

ừ nhỉ! cảm ơn bạn nhé!

 

vậy thì làm thế này:

 

ta có: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$  đã cm ở trên.

 

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\sum a^2\geq \sum ab$

 

 

đến đây chắcổn rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 13:46

[kfcchicken98]

ừ nhỉ! cảm ơn bạn nhé!

 

vậy thì làm thế này:

 

ta có: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$  đã cm ở trên.

 

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\sum a^2\geq \sum ab$

 

 

đến đây chắcổn rồi!

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

[Kaito Kuroba]

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

 

$\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$ chứ sao lại be hơn hoặc= được!

[kfcchicken98]

$\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$ chứ sao lại be hơn hoặc= được!

bạn nên đọc kĩ lại nhé, mình nói là bđt ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng 

[Kaito Kuroba]

bạn nên đọc kĩ lại nhé, mình nói là bđt ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng 

 

giã sử ta có:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

mà $2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 14:05

[hoctrocuanewton]

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

mà

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng

[kfcchicken98]

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

mà

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng

nếu giả sử bdt đúng thì cần CM làm gì nữa

với lại từ a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca thì cũng ko thể suy ra a^2+b^2+c^2+a căn bc + b căn ca + c căn ab > 2ab+2bc+2ca được do ab+bc+ca > a căn bc +b căn ca +c căn ab