Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Hiện nay hàm mũ $(e^{x})$, hàm logarithm $(\log x)$, hàm số lượng giác $(\sin x, \cos x,... )$ có rất nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học, kỹ thuật, gọi là các hàm siêu Vìệt. Sau đây tôi xin cung cấp một số công thức cơ bản của hàm lượng giác. Việc chứng minh chủ yếu dựa vào định nghĩa đạo hàm.
$$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x \\ \frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x \\ \frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^{2}x$$
Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm 2 ẩn
$$x\cos 2y+\sin x\cos y=1$$ 

Trả lời 

Spoiler

Phương trình hàm 2 ẩn: (Xem bài viết về vấn đề này tại đây)
$$x\cos 2y+\sin x\cos y=1$$
Đạo hàm
$$x(-2\sin 2y)(\frac{dy}{dx})+(\cos 2y)(1)+\sin x(-\sin y\frac{dy}{dx})+\cos y\cos x=0$$
Vậy
$$(-2x\sin 2y-\sin x\sin y)(\frac{dy}{dx})=-\cos 2y-\cos y\cos x$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos 2y+\cos x\cos y}{2x\sin 2y +\sin x\sin y}$$

Ví dụ 2: Một dòng điện (đơn vị Ampere-$A$) trong mạch máy khuếch đại tuân theo hàm số theo thời gian $t$ (giây-$s$) là :
$$i=0,10\cos(120\pi t+\frac{\pi}{6})$$
xác định biểu thức của điện áp đi qua cuộn cảm có độ lớn $2,0mH$. Biết rằng
$$V_{L}=L\frac{di}{dt}$$ 

Trả lời 

Spoiler

$$V_{L}=L\frac{di}{dt}$$
$$=0,002\frac{di}{dt}$$
$$=0,002(0,10)(120\pi)[-\sin(120\pi t+\frac{\pi}{6})]$$
$$=-0,024\pi \sin(120\pi t+\frac{\pi}{6})$$
Sử dụng quy tắc thương số cũng như đồng nhất thức lượng giác, ta có các công thức sau:
$$\frac{d(\csc x)}{dx}=-\csc x\cot x$$
$$\frac{d(\sec x)}{dx}=\sec x\cot x$$
$$\frac{d(\cot x)}{dx}=-\csc^{2}x$$

 

Ví dụ 3: tính đạo hàm hàm số
$$3\cot(x+y)=\cot y^{2}$$ 

Trả lời 

Spoiler

Đây là hàm số 2 ẩn
$$3\cot(x+y)=\cot y^{2}$$
Đạo hàm vế trái, ta được
$$-3\csc^{2}(x+y)(1+\frac{dy}{dx})$$
Đạo hàm vế phải, ta được:
$$(-\sin y^{2})(2y\frac{dy}{dx})$$
Vậy ta được kết quả
$$-3\csc^{2}(x+y)(1+\frac{dy}{dx})=(-\sin y^{2})(2y\frac{dy}{dx})$$
$$\Leftrightarrow-3\csc^{2}(x+y)+-3\csc^{2}(x+y)\frac{dy}{dx}=-2y\sin y^{2}\frac{dy}{dx}$$
$$\Leftrightarrow [2y\sin y^{2}-3\csc^{2}(x+y)]\frac{dy}{dx}=3\csc^{2}(x+y)$$
$$\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3\csc^{2}(x+y)}{2y\sin y^{2}-3\csc^{2}(x+y)}$$

 

Ta cũng có cóng thức đạo hàm hàm lượng giác ngược

Ta cần nhắc lại khái niệm. Biểu thức $\sin^{-1}x$ có nghĩa rằng ta phải tim một góc $\Phi$ nào đó để $\sin \Phi = x$

Ngoài ký hiệu $\sin^{-1} x$ thì ký hiệu $\arcsin x$ cũng có ý nghĩa tương tự. Tuy nhiên việc sử dụng $\arcsin$ sẽ tốt hơn sử dụng $\sin^{-1}$ nhằm tránh nhầm lẫn với giá trị nghịch đảo, như $3^{-1}=\frac{1}{3}$. Trong bài viết sẽ sử dụng ký hiệu $\sin^{-1}$ để trùng khớp với ký hiệu trên máy tính.
$$\frac{d(\sin^{-1}u)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{d(\cos^{-1}u)}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{dx}$$
$$\frac{d(\tan^{-1}u)}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1+u^{2}}}\frac{du}{dx}$$

Ví dụ 4: xác định $\frac{dy}{dx}$ của

$$x+y=\tan^{-1}(x^{2}+3y)$$ 

Trả lời 

Spoiler

Đạo hàm hai vế, ta được
$$x+y=\tan^{-1}(x^{2}+3y)$$
$$\Rightarrow 1+\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(x^{2}+3y)^{2}}(2x+3\frac{dy}{dx})$$
$$\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x-1-(x^{2}+3y)^{2}}{-2+(x^{2}+3y)^{2}}$$

 

Bây giờ ta sẽ sử dụng đạo hàm hàm số lượng giác cũng như hàm lượng giác ngược để giải quyết một số vấn đề.

Ví dụ 5: Xác định phương trình pháp tuyến của đường cóng
$$y=\tan^{-1}\frac{x}{2}$$
tại $x=2.$ 

Trả lời

Spoiler

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^{2}}(\frac{1}{2})$$
Khi $x=3$ thì biểu thức trên là $0,153846.$

Vậy độ dốc tiếp tuyến tại $x=3$ là $0,153846$

Độ dốc pháp tuyến tại $x=3$ là :
$$\frac{-1}{0,153846}=-6,5$$
Vậy phương trình pháp tuyến tại điểm $x=3 y=0,9828$ là
$$y-0,9828=-6,5(x-3)$$
$$y=-6,5x+20,483$$

Ví dụ 6:
Một mạch điện có công suất $P$, trở kháng có góc lệch pha là $\theta$. cóng suất biểu kiến $P_{a}$ của mạch có biểu thức:
$$P_{a}=P\sec \theta$$
Giả sử $P=12W$, xác định tốc độ biến thiên của $P_{a}$ khi $\theta$ thay đổi với tốc độ $0,05rad/$ phút. Giả sử ban đầu $\theta=40^{o}$ 

Trả lời 

Spoiler

Sử dụng quy tắc dây truyền, ta được:
$$\frac{dP_{a}}{dt}=\frac{dP_{a}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}$$
Ta có $P_{a}=P\sec \theta=12\sec \theta$ (v i $P=12W$)
$$\frac{dP_{a}}{d\theta}=12\sec \theta \tan \theta$$
Ta có :
$$\frac{d\theta}{dt}=0,05$$
Vậy
$$\frac{dP_{a}}{dt}=\frac{dP_{a}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=0,6 \sec \theta\tan \theta$$
Khi $\theta=40^{o}$, biểu thức trên bằng với $0,657W/$ phút.

Ví dụ 7: Một thìết bị được lập trình để di chuyển một cóng cụ khắc tuân theo biểu thức $x=2\cos 3t$ và $y=\cos 2t$. Kích thước tính theo $cm$ và thời gian $t$ tính theo $s$. xác định vận tốc của dụng cụ khi $t=4,1s$ 

Trả lời 

Spoiler

$$v_{x}=\frac{dx}{dt}=-6\sin 3t$$
$$v_{y}=\frac{dy}{dt}=-2\sin 2t$$
Tại $t=4,1, v_{x}=1,579,v_{y}=-1,88$

Vậy:
$$v=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}=2,46 \, \text{cm/s}$$
Nói về vận tốc, ta cần phải xác định được phương hướng. Trước hết ta gần tim ra góc nhọn thích hợp (góc dùng để làm mốc)
$$\alpha-\tan^{-1}(\frac{1,88}{1,579})=50^{o}$$
Xét trên vòng tròn lượng giác, ta đang ở góc phần tư thứ $4$ Vì $v_{x}$ dương và $v_{y}$ am. Vì vậy góc cần tim là
$$360^{o}-50^{o}=310^{o}$$

Ví dụ 8: Màn hình TV đặt thẳng đứng tại vận động, cao $2,4m$, cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm mắt khán giả A ngồi dưới nó là $8,5m$. Giả sử khán giả B có góc quan sat TV là thuận lợi nhất khi đối diện với màn hinh TV là cực đại, khi đó khoảng cách giữa khán giả B đến khán giả A là bao nhiêu? 

Trả lời

Spoiler

Ta xác định $\theta_{1},\theta_{2}$ như hinh trên, từ đo ta được $\theta=\theta_{2}-\theta_{1}$

Giả sử $x$ là khoảng từ khán giả B đến khán giả A, để tính giá trị $\theta$ cực đại, ta cần tìm
$$\frac{d\theta}{dx}$$
và cho nó bằng $0$

Ta lưu ý rằng
$$\tan \theta_{1}=\frac{8,5}{x}$$
$$\tan \theta_{2}=\frac{10,9}{x}$$
Điều này dẫn đến
$$\theta_{1}=\tan^{-1}\frac{8,5}{x}$$
$$\theta_{2}=\tan^{-1}\frac{10,9}{x}$$
Vậy ta được
$$\theta=\theta_{2}-\theta_{1}=\tan^{-1}\frac{10,9}{x}-\tan^{-1}\frac{8,5}{x}$$
Tính đạo hàm
$$\frac{d\theta}{dx}=-2,4x^{2}+222,36$$
$$\frac{d\theta}{dx}=0\Leftrightarrow -2,4x^{2}+222,36=0\Rightarrow x=9,63$$
Vì ta tính khoảng cách nên ta lấy giá trị dương

Vậy khoảng cách từ khán giá $B$ đến khán giả $A$ là $9,63cm$

Ví dụ 9: Một trục cuộn tại một sân bốc dỡ hàng dùng để kéo lê cóntainer trên mặt đất. Trục cuộn quay dây cáp với tốc độ $2m/s$ và trục cách mặt đất $5m$.Hỏi với tốc độ nào thì góc $\theta$ tạo bởi dây cáp và mặt đất thay đổi sau khi trục cuốn được $10m$ day cáp? 

Trả lời 

Spoiler

Sơ đồ vô hướng (chỉ bao gồm khoảng cách)

Ta có thể thấy rằng $\sin \theta=\frac{5}{x}$ nen $\theta=\sin^{-1}(\frac{5}{x})$

Sơ đồ vector (bao gồm vận tốc):


Ta còn có:
$$\frac{dx}{dt}=-2m/s$$
Do ta cần tìm $\frac{d\theta}{dt}$ nên ta sử dụng $\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{dx}\frac{dx}{dt}$

Vì $\theta=\sin^{-1}(\frac{5}{x})$ nên ta được:
$$\frac{d\theta}{dx}=\frac{-5}{x^{2}\sqrt{1-(\frac{5}{x})^{2}}}$$
Vậy
$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{dx}\frac{dx}{dt}$$
$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{-5}{x^{2}\sqrt{1-(\frac{5}{x})^{2}}}(-2)$$
$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{10}{x^{2}\sqrt{1-(\frac{5}{x})^{2}}}$$

Ta muốn biết tốc độ biến thìên khi $x=10$, thay giá trị này vào biểu thức trên, ta được kết quả
$$\frac{d\theta}{dt}=0,1155\, rad/s$$.

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

 

Bài trước: Bán kính cong.

 

Bài tiếp: Đạo hàm hàm số Logarithm và ứng dụng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 13-04-2014 - 23:32