Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi VMO 06


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
Vậy là kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2006 đã kết thúc. Diễn ra trong 2 ngày 23, 24/2 năm 2006 (sớm hơn mọi năm khoảng nửa tháng), kì thi với 6 bài toán chia đều cho mỗi ngày 3 bài. Theo nhận định sơ bộ thì đề thi năm nay không quá khó. Ngày thứ nhất có rất nhiều thí sinh làm trọn vẹn (tổng hợp cho đến thời điểm hiện tại). Trong đó bài 2,3 ngày thứ nhất và bài 5,6 ngày thứ hai khá đáng chú ý. Theo thầy Trần Nam Dũng (ĐHKHTN ĐHQG TP Hồ Chí Minh) thì bài 2 ngày 1 là một kết quả hình học "kinh điển". Bài 1 và bài 4 không mang nhiều dấu ấn của các bài thi chọn HSG Quốc Gia và Quốc Tế (thầy Nguyễn Vũ Lương ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội). Bài 6 là một bài hay, nhưng dường như nó đã xuất hiện trong một kì thi chọn đội tuyển của Mỹ. Trong thời gian ngắn, có lẽ sẽ tìm được link gốc của bài toán này

Mời các bạn tham gia thảo luận về kì thi năm nay

Dưới đây là 6 bài toán của bảng A

Bài 1

Giải hệ phương trình ba biến sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{x^2-2x+6}\cdot{\log_{3}{(6-y)}}=x
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{y^2-2y+6}\cdot{\log_{3}{(6-z)}}=y
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sqrt{z^2-2z+6}\cdot{\log_{3}{(6-x)}}=z

Bài 2

Cho một điểm M nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB của tứ giác lồi ABCD. Gọi N là giao điểm thứ 2 của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAC, MBD. Chứng minh rằng

1/ N luôn nằm trên một đường tròn cố định

2/ MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3

Cho m và n là các số nguyên lớn hơn 3. Cho bảng ô vuông kíck thước mxn (bảng gồm m hàng và n cột). Cho phép đặt bi vào các ô vuông con của bảng theo cách sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô vuông con (mỗi ô đặt viên) mà 4 ô đó tạo thành một trong cách hình dưới đây

Hình đã gửi

Hỏi bằng cách thực hiện một số hữu hạn lần phép đặt bi nói trên , ta có thể đặt bi vào tất cả các ô vuông con của bảng sao cho số bi trong mỗi ô vuông con đều bằng nhau hay không, nếu:

1/ m=2004, n=2006
2/ m=2005, n=2006

Chú ý: trong mỗi lần đặt bi, ô vuông con được chọn để đặt bi không nhất thiết phải là ô chưa có bi

Bài 4

Cho hàm số trong đó là hai số thực dương khác nhau cho trước.

Chứng minh rằng với mỗi số thực thuộc khoảng đều tồn tại duy nhất số thực dương sao cho



Bài 5

Hãy xác định tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn hệ thức sau với mọi số thực :

Bài 6

Xét tập hợp số có 2006 phần tử. Ta gọi một tập con của là tập con "bướng bỉnh" nếu với hai số tùy ý (có thể bằng nhau) thuộc luôn có không thuộc . Chứng minh rằng

1/ Nếu là tập hợp gồm 2006 số nguyên dương đầu tiên thì mỗi tập con "bướng bỉnh" của đều không có quá 1003 phần tử

2/ Nếu là tập hợp gồm 2006 số nguyên dương tùy ý thì tồn tại một tập con "bướng bỉnh" của có 669 phần tử

Diễn đàn mong nhận được bản scan đề gốc của bảng B từ các thành viên. Cuối cùng chúc các thành viên diễn đàn vừa tham gia kì thi vui vẻ và sẽ đạt được kết quả xứng đáng

Thân ái !

PS: gần như ngay sau khi đề thi được post lên, 1 thành viên diễn đàn đã tìm ra link gốc của bài toán 6, và ở đây nữa




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh