a)Trên tia MA lấy điểm I sao cho MI=MC
Dễ thấy $\Delta CIM$ đều $\Rightarrow MC=CI$
Xét 2 tam giác $\Delta AIC$$ và \Delta BMC$ có
$IC=MC$
$\angle IAC=\angle MCB$ (vì cùng cộng với $\angle BCI = 60^{\circ}$)
$AC=BC$
Do đó $\Delta AIC$ = $\Delta BMC$
$\Rightarrow AI=BM$
$\Rightarrow$ Đpcm
b) Dễ thấy $$\Delta BAM \sim \Delta DCM$$ (g.g)
nên $\frac{AM}{CM}=\frac{BM}{DM}\Rightarrow AM.DM=CM.BM$
$\Rightarrow \frac{AM}{BM.CM}=\frac{1}{MD}$
Áp dụng kết quả câu (a) ta có đpcm
c) Đặt MA=x, MB=y. Ta có
$AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2}-xy)$ (1)
Kẻ $BH$ vuông góc với $AM$
Do $\angle BMH =60^{\circ}$ nên $MH = \frac{y}{2}, BH^{2}=y^{2}-(\frac{y}{2})^{2}=\frac{3y^{2}}{4}$
do đó $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow MA^{2}+ MB^{2}+MC^{2}=2AB^{2}$ mà $\Delta ABC$ đều
nên $AB=R\sqrt{3}$
$\Rightarrow$ Đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 12-02-2014 - 00:03