Chủ đề này có 7 trả lời

[HoangHungChelski]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                          ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

          HUYỆN GIA LỘC                                                                                                  Thời gian: 150 phút

 

Câu 1(2 điểm):
a. Rút gọn biểu thức: A=$A=2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}:[2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a})]$
b. Cho $a,b> 0$ thỏa: $a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}$
Tính giá trị biểu thức: A$A=a^{2020}+b^{2020}$

Câu 2(2đ)
a. Giải phương trình: $\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{5-x}=1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1 &+x^2y^2 &=5x^2 \\ y &+xy^2 & =6x^2 \end{matrix}\right.$
 

Câu 3(2đ)
a. Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ cũng chia hết cho 6.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

Câu 4(3đ)
Cho đường tròn (O;R), đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và HC.
a, CM: DM, EN là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
b, CM: trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c, Hai đường kính AH và DE của (O;R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất?

Câu 5(1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Tìm $max (abc)$

P/s: bực mình câu hệ phương trình thế không biết 

[25 minutes]

Câu 5(1đ)

Cho $a,b,c> 0$ thỏa $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Tìm $max (abc)$

Từ giả thiết và áp dụng AM-GM ta có

            $\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geqslant \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{(1+b)(1+c)}}$

Tương tự $\frac{1}{1+b} \geqslant \frac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{(1+a)(1+c)}}$

                $\frac{1}{1+c} \geqslant \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{(1+a)(1+b)}}$

Nhân 3 bất đẳng thức trên lại ta được $abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

[canhhoang30011999]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                          ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

          HUYỆN GIA LỘC                                                                                                  Thời gian: 150 phút

 

Câu 1(2 điểm):
a. Rút gọn biểu thức: A=$A=2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}:[2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a})]$
b. Cho $a,b> 0$ thỏa: $a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}$
Tính giá trị biểu thức: A$A=a^{2020}+b^{2020}$

Câu 2(2đ)
a. Giải phương trình: $\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{5-x}=1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1 &+x^2y^2 &=5x^2 \\ y &+xy^2 & =6x^2 \end{matrix}\right.$
 

Câu 3(2đ)
a. Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ cũng chia hết cho 6.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

Câu 4(3đ)
Cho đường tròn (O;R), đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và HC.
a, CM: DM, EN là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
b, CM: trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c, Hai đường kính AH và DE của (O;R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất?

Câu 5(1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Tìm $max (abc)$

P/s: bực mình câu hệ phương trình thế không biết 

2

a

đặt $\sqrt[3]{2+x}=a$

$\sqrt[3]{5-x}=b$

ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} &a+b=1 & \\ & a^{3}+b^{3}=7 & \end{matrix}\right.$

đến đây rút thế là ra

[lahantaithe99]

 

b. Cho $a,b> 0$ thỏa: $a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}$
Tính giá trị biểu thức: A$A=a^{2020}+b^{2020}$

 

$a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}\Rightarrow a^{2011}(a-1)+b^{2011}(b-1)=0$ $(1)$

$CMTT$ có $a^{2012}(a-1)+b^{2012}(b-1)=0 (2)$

Lấy $(2)-(1)\Rightarrow a^{2011}(a-1)^2+b^{2011}(b-1)^2=0$

Vì $a,b>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=0\Rightarrow a=1 & \\ b-1=0\Rightarrow b=1 & \end{matrix}\right.$

Do đó $a^{2020}+b^{2020}=2$

[lahantaithe99]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                          ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

          HUYỆN GIA LỘC                                                                                                  Thời gian: 150 phút

 

b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1 &+x^2y^2 &=5x^2 \\ y &+xy^2 & =6x^2 \end{matrix}\right.$
 

 

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của phương trình nên chia $PT(1);(2)$ cho $y^2$ ta đc

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^2}+x^2=5.(\frac{x}{y})^2 & \\ \frac{1}{y}+x=6.(\frac{x}{y})^2& \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{y}=a;x=b$ suy ra $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5(ab)^2(1) & \\ a+b=6(ab)^2(2) & \end{matrix}\right.$

$(1)\Rightarrow (a+b)^2-2ab=5(ab)^2\Leftrightarrow 36(ab)^4-2ab=5(ab)^2$

Giải phương trình trên tìm được $ab=0,5$ hoặc $ab=0$ (TH $ab=0$ thì loại)

Do đó $ab=\frac{1}{2}\Rightarrow$ tìm đc $a+b$ thì tìm đc $a,b$

Tìm đc $a,b$ thì tìm đc $x,y$

[lovemathforever99]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                          ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

          HUYỆN GIA LỘC                                                                                                  Thời gian: 150 phút

 

Câu 1(2 điểm):
a. Rút gọn biểu thức: A=$A=2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}:[2\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a})^2-1}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a})]$
b. Cho $a,b> 0$ thỏa: $a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}=a^{2013}+b^{2013}$
Tính giá trị biểu thức: A$A=a^{2020}+b^{2020}$

Câu 2(2đ)
a. Giải phương trình: $\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{5-x}=1$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1 &+x^2y^2 &=5x^2 \\ y &+xy^2 & =6x^2 \end{matrix}\right.$
 

Câu 3(2đ)
a. Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ cũng chia hết cho 6.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

Câu 4(3đ)
Cho đường tròn (O;R), đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và HC.
a, CM: DM, EN là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
b, CM: trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c, Hai đường kính AH và DE của (O;R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất?

Câu 5(1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
Tìm $max (abc)$

Câu 3(2đ)
a. Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ cũng chia hết cho 6.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

 

a.$a^{3}-a=(a-1)a(a+1)\vdots 6$

Tương tự: $b^{3}-b\vdots 6$, $c^{3}-c\vdots 6$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)\vdots 6$

Mà $a+b+c\vdots 6$ $\Rightarrow dpcm$

 

b.$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

$\Rightarrow (x-1)(x+y-2y^{2})=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&-1 &=1 \\ y & +x&-2y^{2} =1 \end{matrix}\right.$$\vee \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&-1 &=-1 \\ y & +x&-2y^{2} =-1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&=2 \\ y &=1 \end{matrix}\right.$$\vee \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&=0 \\ y &=1 \end{matrix}\right.$

[HoangHungChelski]

$a^{2011}+b^{2011}=a^{2012}+b^{2012}\Rightarrow a^{2011}(a-1)+b^{2011}(b-1)=0$ $(1)$

$CMTT$ có $a^{2012}(a-1)+b^{2012}(b-1)=0 (2)$

Lấy $(2)-(1)\Rightarrow a^{2011}(a-1)^2+b^{2011}(b-1)^2=0$

Vì $a,b>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=0\Rightarrow a=1 & \\ b-1=0\Rightarrow b=1 & \end{matrix}\right.$

Do đó $a^{2020}+b^{2020}=2$

Cách khác: Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:
$(a^{2011}+b^{2011})(a^{2013}+b^{2013})\geq (a^{2012}+b^{2012})^2$
Mặt khác, từ giả thiết, ta có dấu bằng xảy ra tại $a=b$
Ta có: $a^{2013}+b^{2013}=a^{2012}+b^{2012} \Leftrightarrow a^{2012}(a-1)=b^{2012}(1-b)\Leftrightarrow 2a=2\Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow A=2$

[HoangHungChelski]

Câu 3(2đ)
a. Cho $a,b,c$ nguyên. CMR nếu $a+b+c$ chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ cũng chia hết cho 6.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên
$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

 

a.$a^{3}-a=(a-1)a(a+1)\vdots 6$

Tương tự: $b^{3}-b\vdots 6$, $c^{3}-c\vdots 6$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)\vdots 6$

Mà $a+b+c\vdots 6$ $\Rightarrow dpcm$

 

b.$2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

$\Rightarrow (x-1)(x+y-2y^{2})=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&-1 &=1 \\ y & +x&-2y^{2} =1 \end{matrix}\right.$$\vee \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&-1 &=-1 \\ y & +x&-2y^{2} =-1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&=2 \\ y &=1 \end{matrix}\right.$$\vee \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x&=0 \\ y &=1 \end{matrix}\right.$

Câu 3a mình làm ngắn hơn, nhưng không biết có đúng không nữa!   
Ta có: $a+b+c\vdots 6\Rightarrow$ Trong 3 số $a,b,c$ có ít nhất 1 số là số chẵn $\Rightarrow$ $abc\vdots 2$ $\Rightarrow$ $3abc\vdots 6$
Phân tích được $a^3+b^3+c^3$, ta có $dpcm$