Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Tìm $max$ $P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$
#1
Đã gửi 12-02-2014 - 17:20
#2
Đã gửi 23-01-2015 - 07:21
Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Sửa lại đề : "Cho $a,b,c$ thỏa $0\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 1$.Tìm ..."
Trước hết ta giải quyết bài toán phụ sau :
Bài toán phụ : Cho các số $x,y$ không âm thỏa $x+y=p$ ($p$ là hằng số).CM rằng $Q=x^2y$ đạt GTLN là $\frac{4}{27}\ p^3$ khi $x=\frac{2}{3}\ p$.
Chứng minh :
Ta có : $\frac{x}{p}+\frac{y}{p}=1\left ( 0\leqslant \frac{x}{p}\leqslant 1;0\leqslant \frac{y}{p}\leqslant 1 \right )$
Đặt $\frac{x}{p}=\frac{2}{3}-z$ ; $\frac{y}{p}=\frac{1}{3}+z$ $\left ( -\frac{1}{3}\leqslant z\leqslant \frac{2}{3} \right )$
$\frac{x^2y}{p^3}=\left ( \frac{2}{3}-z \right )^2.\left ( \frac{1}{3}+z \right )=z^3-z^2+\frac{4}{27}=z^2(z-1)+\frac{4}{27}\leqslant \frac{4}{27}$ (vì $z< 1$)
$\Rightarrow Q=x^2y\leqslant \frac{4}{27}\ p^3$
(Dấu bằng xảy ra khi $z=0$ hay $x=\frac{2}{3}\ p$)
Bây giờ trở lại bài toán của chúng ta :
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)=(b^2-a^2)(c-b)+c^2(1-c)\leqslant b^2(c-b)+c^2(1-c)$ (1)
Đặt $c-b=d$ ($d\geqslant 0$).Áp dụng kết quả bài toán phụ ở trên, ta có :
$P\leqslant b^2d+c^2(1-c)\leqslant \frac{4}{27}\ c^3-c^3+c^2=c^2-\frac{23}{27}\ c^3=\frac{23}{27}.\ c^2.\left ( \frac{27}{23}-c \right )$ (2)
Lại áp dụng kết quả bài toán phụ một lần nữa, ta được :
$P\leqslant \frac{23}{27}.c^2.\left ( \frac{27}{23}-c \right )\leqslant \frac{23}{27}.\frac{4}{27}.\left ( \frac{27}{23} \right )^3=\frac{108}{529}$ (3)
Các dấu bằng ở (1),(2) và (3) xảy ra khi $c=\frac{2}{3}.\frac{27}{23}=\frac{18}{23}$ ; $b=\frac{2}{3}.\ c=\frac{12}{23}$ ; $a=0$
Vậy $P_{max}=\frac{108}{529}$ (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{12}{23}$ ; $c=\frac{18}{23}$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-01-2015 - 13:00
- huykinhcan99, Viet Hoang 99, nguyenhongsonk612 và 4 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 23-01-2015 - 23:09
Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Do $b\leq c=>a^{2}(b-c)\leq 0=>P\leq b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)\leq \frac{1}{2}(\frac{b+b+2c-2b}{3})^{3}+c^{2}(1-c)=c^{2}(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54^{2}}{27^{2}}).\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}(1-\frac{23c}{27})\leq \frac{108}{259}$
MinP=$\frac{108}{259}<=>a=0, b=\frac{12}{23}, c=\frac{18}{23}$
- dogsteven, Hoang Long Le, nhungvienkimcuong và 2 người khác yêu thích
TLongHV
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh