Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm $max$ $P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
  • Sở thích:$\mathfrak{Combinatorics}$ , $\mathfrak{NumberTheory}$

Đã gửi 12-02-2014 - 17:20

Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$ 


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 23-01-2015 - 07:21

Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$

Sửa lại đề : "Cho $a,b,c$ thỏa $0\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 1$.Tìm ..."

 

Trước hết ta giải quyết bài toán phụ sau :

Bài toán phụ : Cho các số $x,y$ không âm thỏa $x+y=p$ ($p$ là hằng số).CM rằng $Q=x^2y$ đạt GTLN là $\frac{4}{27}\ p^3$ khi $x=\frac{2}{3}\ p$.

Chứng minh : 

Ta có : $\frac{x}{p}+\frac{y}{p}=1\left ( 0\leqslant \frac{x}{p}\leqslant 1;0\leqslant \frac{y}{p}\leqslant 1 \right )$

Đặt $\frac{x}{p}=\frac{2}{3}-z$ ; $\frac{y}{p}=\frac{1}{3}+z$ $\left ( -\frac{1}{3}\leqslant z\leqslant \frac{2}{3} \right )$

$\frac{x^2y}{p^3}=\left ( \frac{2}{3}-z \right )^2.\left ( \frac{1}{3}+z \right )=z^3-z^2+\frac{4}{27}=z^2(z-1)+\frac{4}{27}\leqslant \frac{4}{27}$ (vì $z< 1$)

$\Rightarrow Q=x^2y\leqslant \frac{4}{27}\ p^3$

(Dấu bằng xảy ra khi $z=0$ hay $x=\frac{2}{3}\ p$)

 

Bây giờ trở lại bài toán của chúng ta :

$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)=(b^2-a^2)(c-b)+c^2(1-c)\leqslant b^2(c-b)+c^2(1-c)$ (1)

Đặt $c-b=d$ ($d\geqslant 0$).Áp dụng kết quả bài toán phụ ở trên, ta có :

$P\leqslant b^2d+c^2(1-c)\leqslant \frac{4}{27}\ c^3-c^3+c^2=c^2-\frac{23}{27}\ c^3=\frac{23}{27}.\ c^2.\left ( \frac{27}{23}-c \right )$ (2)

Lại áp dụng kết quả bài toán phụ một lần nữa, ta được :

$P\leqslant \frac{23}{27}.c^2.\left ( \frac{27}{23}-c \right )\leqslant \frac{23}{27}.\frac{4}{27}.\left ( \frac{27}{23} \right )^3=\frac{108}{529}$ (3)

Các dấu bằng ở (1),(2) và (3) xảy ra khi $c=\frac{2}{3}.\frac{27}{23}=\frac{18}{23}$ ; $b=\frac{2}{3}.\ c=\frac{12}{23}$ ; $a=0$

Vậy $P_{max}=\frac{108}{529}$ (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{12}{23}$ ; $c=\frac{18}{23}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-01-2015 - 13:00

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 23-01-2015 - 23:09

Cho $a,b,c$ thỏa $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$. Tìm $max$
$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$ 

Do $b\leq c=>a^{2}(b-c)\leq 0=>P\leq b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)\leq \frac{1}{2}(\frac{b+b+2c-2b}{3})^{3}+c^{2}(1-c)=c^{2}(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54^{2}}{27^{2}}).\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}(1-\frac{23c}{27})\leq \frac{108}{259}$

MinP=$\frac{108}{259}<=>a=0, b=\frac{12}{23}, c=\frac{18}{23}$


TLongHV





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh