Bài làm của MSS 52:
Bổ đề 1: Định lí Cê va trong tam giác:
Nội dung định lí : Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $\Delta ABC$ lấy các điểm $D,E,F$. Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy khi và chỉ khi $\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$
Chứng minh : Sử dụng diện tích:
$\frac{FA}{FB}=\frac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\frac{S_{APF}}{S_{BPF}}=\frac{S_{APC}}{S_{BPC}}$
Tương tự: $\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABP}}{S_{ACP}}; \frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}$
Nhân vế theo vế:
$\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=\frac{S_{APC}.S_{ABP}.S_{BCP}}{S_{BPC}.S_{ACP}.S_{ABP}}=1$
Định lí đảo:
Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $\Delta ABC$ lấy các điểm $D,E,F$ sao cho $\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$. Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy.
Chứng minh:
Gọi O là giao điểm của $AD$ và $BE$. Qua O vẽ $CF'$ với $F'$ thuộc $AB$.
Tương tự như chứng minh định lí thuận $\frac{F'A}{F'B}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$
$\Rightarrow \frac{AF'}{BF'}=\frac{AF}{BF}$.
Vì $F$ và $F'$ đều thuộc đoạn $AB$ và nằm giữa $A$ và $B$ nên $F'\equiv F$
Như vậy $AD,BE,CF$ đồng quy tại $O$.
Bổ đề 2: Định lí hàm sin:
Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$.
Chứng minh:$\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
Kẻ đường cao $BH$ của $\Delta ABC$.
Ta có $sinC=\frac{BH}{a}$
Mà $BH=sinA.a$$\Rightarrow a.sinC=sinA.c\Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$
Chứng minh tương tự $\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sinB}$
Ta có đpcm.
Quay trở lại bài toán:
Tạm gọi các góc $\widehat{MAF}=\widehat{A_{1}},\widehat{MAE}=\widehat{A_{2}}$
$\widehat{NBF}=\widehat{B_{2}},\widehat{NBC}=\widehat{B_{1}}$
$\widehat{PCD}=\widehat{C_{2}},\widehat{PCE}=\widehat{C_{1}}$
Áp dụng định lí hàm sin vào $\Delta AME, \Delta AMF$:
$\frac{ME}{sinA_{2}}=\frac{AE}{sinAME};\frac{MF}{sinA_{1}}=\frac{AF}{sin AMF}=\frac{AF}{sinAME}$(vì $\widehat{AME}+\widehat{AMF}=180^{\circ}$ nên $sinAME=sinAMF$)
$\Rightarrow \frac{ME}{MF}.\frac{AF}{AE}=\frac{sinA_{2}}{sinAME}.\frac{sinAME}{sinA_{1}}=\frac{sinA_{2}}{sinA_{1}}$ (1)
Chứng minh tương tự:$\frac{NF}{ND}.\frac{BD}{BF}=\frac{sinB_{2}}{sinB_{1}}(2)$
$\frac{PD}{PE}.\frac{CE}{CD}=\frac{sinC_{2}}{sinC_{1}}(3)$
(1).(2).(3):$(\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}).(\frac{ME}{MF}.\frac{NF}{ND}.\frac{PD}{PE})=\frac{sinA_{2}.sinB_{2}.sinC_{2}}{sinA_{1}.sinB_{1}.sinC_{1}}$
Áp dụng định lí Cê va cho các $\Delta ABC,\Delta DEF$:
$\frac{FA}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1$ và $\frac{ME}{MF}.\frac{NF}{ND}.\frac{PD}{PE}=1$
$\Rightarrow sinA_{2}.sinB_{2}.sinC_{2}=sinA_{1}.sinB_{1}.sinC_{1}$
Gọi $I,H,K$ lần lượt là giao điểm $AM,BN,CP$ với $BC,AC,AB$.
Áp dụng định lí hàm sin cho $\Delta ABC$:
$\frac{IB}{sinA_{1}}=\frac{AB}{sinAIB};\frac{IC}{sinA_{2}}=\frac{AC}{sinAIB}$
$\Rightarrow \frac{IB}{IC}.\frac{AC}{AB}=\frac{sinA_{1}}{sinA_{2}}$ (3)
Tương tự: $\Rightarrow \frac{HC}{HA}.\frac{AB}{BC}=\frac{sinB_{1}}{sinB_{2}}$(4)
$\Rightarrow \frac{KA}{KB}.\frac{BC}{AC}=\frac{sinC_{1}}{sinC_{2}}$(5)
(3).(4).(5): $\frac{IB}{IC}.\frac{HC}{HA}.\frac{KA}{KB}.\frac{AC.AB.BC}{AB.BC.CA}=\frac{sinA_{2}.sinB_{2}.sinC_{2}}{sinA_{1}.sinB_{1}.sinC_{1}}=1$
$\Rightarrow \frac{IB}{IC}.\frac{HC}{HA}.\frac{KA}{KB}=1$
Áp dụng định lí đảo ở bổ đề 1 ta được $AI,BH,CK$ đồng quy hay $AM,BN,CP$ đồng quy.
Trừ 1 nửa số điểm do không có hình vẽ
$d = 3.5$
$S = 27.1$
hình lỗi muộn.
