Cho dãy số {an} được xác định bởi
$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$
Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$
Cho dãy số {an} được xác định bởi
$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$
Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$
Giải:
Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..
$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$
$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Cho dãy số {an} được xác định bởi
$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$
Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$
Dễ thấy rằng: $a_{n+1}^{2}=2n+1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}^{2}}$
Suy ra $a_{n+1}^{2}>2n+1$
Và ta cũng có: $2n+1>2n$
Suy ra :
$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}>\sqrt{2.1+1}+\sqrt{2.2+1}+...+\sqrt{2n+1}>\sqrt{2}\left ( 1+\sqrt{2} +...+\sqrt{n}\right )$
Với $n\ geq1$ ta luôn có:
$\sqrt{n}>\frac{2}{3}\left ( n\sqrt{n} -\left ( n-1 \right )\sqrt{n-1}\right )$
Cho $n=2,...,n$ ta được
$\sum_{i=2}^{n} \sqrt{i}>\frac{2}{3}(n\sqrt{n}-1)$
Suy ra:
$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{_{n}}}{n\sqrt{n}}>\left ( \frac{2}{3} +\frac{1}{3n\sqrt{n}}\right )\sqrt{2}$
Ta cũng có thể dễ chứng minh
$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}<\frac{2\sqrt{2}}{3}\left [ \frac{n+1}{n}.\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+\frac{n-1}{n\sqrt{n}}\right]$
Sử dụng định lý kẹp ta có $lim\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Giải:
Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..
$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$
$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$
Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!
Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!
Làm bừa thì lấy đâu ra ý tưởng, mình chỉ nghĩ đến định lý stolz-cesaro thôi!(mới học đấy mà, còn non và yếu lắm)
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
Cho dãy số {an} được xác định bởi
$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$
Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}{2a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n}}{a_{n}}$
do lim a= lim $\frac{1}{a}$, suy ra lim a =1
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sum a_{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}\left [ (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n} \right ]}{3n(n+1)+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}2n\sqrt{n}}{3n(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2n+2}}\frac{\sqrt{2n+2}2\sqrt{n}}{3(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{3}\sqrt{2}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 15-02-2014 - 00:17
Giải:
Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..
$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$
$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$
sử dụng stolz sai ở phần 2
sử dụng stolz sai ở phần 2
Bạn có tài liệu nào về giới hạn dãy số về định lý stolz không. Mình vẫn chưa biết cái này. Chỉ biết những cái cơ bản ak
sử dụng stolz sai ở phần 2
uhm, anh cộng trừ nhầm mất, chắc phải về mẫu giáo học lại môn cộng trừ nhân chia.
Stolz-Cesaro theorem
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh