Cho hai đường tròn $(O,R)$ và $(O',R')$ giao nhau tại $A,B$ , trên tia đối của $AB$ lấy $C$ , từ $C$ kẻ hai tiếp tuyến $CD,CE$ với $(O)$ sao cho $E$ nằm trong $(O')$ , kẻ $DA$ giao $(O')$ ở $M$ , và $AE$ giao $(O')$ tại $M$ .
Chứng minh $DE$ đi qua trung điểm $MN$.
Hình vẽ như của http://diendantoanho...-hoangmanhquan/
-Theo góc nội tiếp thì $\widehat{IMB}=\widehat{NAB}=\widehat{EDB}=\widehat{IDB}$ hay tứ giác $IMDB$ nội tiếp $= > \widehat{NIB}=\widehat{MDB}=\widehat{NEB}= > INBE$ nội tiếp
Do $\widehat{NIB}=\widehat{NEB}= > \widehat{MIB}=\widehat{AEB}$,$\widehat{IMN}=\widehat{EAB}$
$= > \Delta MIB\infty \Delta AEB= > \frac{MI}{IB}=\frac{AE}{EB}$(1)
$\Delta CAE\infty \Delta CEB= > \frac{AE}{EB}=\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CB}$(2)
(Do theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $CE=CD$)
$\Delta CAD\infty \Delta CDB= > \frac{CD}{CB}=\frac{AD}{DB}$(3)
Do $\widehat{INB}=\widehat{BAD},\widehat{NIB}=\widehat{NEB}=\widehat{ADB}= > \Delta ADB\infty \Delta NIB= > \frac{AD}{DB}=\frac{NI}{IB}$(4)
Từ (1),(2),(3),(4)$= > \frac{NI}{IB}=\frac{MI}{IB}= > MI=NI= >$ DE đi qua trung điểm của MN