Đến nội dung

Hình ảnh

Giải chi tiết giùm mình với !


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vnposs

vnposs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Chứng minh vành Z/pZ là 1 trường khi và chỉ khi p là nguyên tố ?



#2
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Với I là một ideal của vành giao hoán R, ta có: R/I là trường khi và chỉ khi I tối đại.

Vậy ta sẽ chứng minh $p\mathbb{Z}$ là một ideal tối đại.

Giả sử $p\mathbb{Z}$ không tối đại, tức tồn tại 1 ideal $I\neq \mathbb{Z}$: $p\mathbb{Z}\subset I$ 

Lấy $x\in I\setminus p\mathbb{Z}$ ta có: gcd(p,x)=1 (do p không là ước của x)

Áp dụng định lí Bézout, ta tìm được $a,b\in \mathbb{Z}$ sao cho:

ap+bx=1

Ta có $ap+bx\in I$ nên $1\in I$, vậy $I=\mathbb{Z}$, trái với giả thuyết, vậy $p\mathbb{Z}$ tối đại.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh