Chứng minh vành Z/pZ là 1 trường khi và chỉ khi p là nguyên tố ?
Giải chi tiết giùm mình với !
Bắt đầu bởi vnposs, 17-02-2014 - 21:16
#1
Đã gửi 17-02-2014 - 21:16
#2
Đã gửi 18-02-2014 - 12:20
Với I là một ideal của vành giao hoán R, ta có: R/I là trường khi và chỉ khi I tối đại.
Vậy ta sẽ chứng minh $p\mathbb{Z}$ là một ideal tối đại.
Giả sử $p\mathbb{Z}$ không tối đại, tức tồn tại 1 ideal $I\neq \mathbb{Z}$: $p\mathbb{Z}\subset I$
Lấy $x\in I\setminus p\mathbb{Z}$ ta có: gcd(p,x)=1 (do p không là ước của x)
Áp dụng định lí Bézout, ta tìm được $a,b\in \mathbb{Z}$ sao cho:
ap+bx=1
Ta có $ap+bx\in I$ nên $1\in I$, vậy $I=\mathbb{Z}$, trái với giả thuyết, vậy $p\mathbb{Z}$ tối đại.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh