Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$
Chứng minh:
$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+b+a}\geq 1$
Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$
Chứng minh:
$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+b+a}\geq 1$
Sống đơn giản cho đời thảnh thơi
$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+a+b}\geq \frac{a}{\sqrt{3(b+c+1)}}+\frac{b}{\sqrt{3(c+a+1)}}+\frac{c}{\sqrt{3(a+b+1)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}(\sqrt{(a+b+c)(2ab+2bc+2ca+a+b+c)})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a+b+c)}}=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{3}}\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 18-02-2014 - 16:45
Cách khác mục đích chính là làm mất căn ở mẫu sau đó mới dùng Cauchy Shwars
Theo Cô si có $\sqrt{a}\leq \frac{a+1}{2}$
$P\geq \sum \frac{2a}{a+1+2(b+c)}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum a+4\sum ab}\geq 1$
$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})+4(ab+bc+ac)\geq \sum a^{2}+4(ab+bc+ac)+\sum a\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum a$
Điều này luôn đúng vì $a+b+c\geq \frac{(\sum \sqrt{a})^{2}}{3}=3$
và $a^{2}+1\geq 2a\rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum a -3\geq 3$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh