Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
luckylucky

luckylucky

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Cho 3 số dương a,b,c thỏa: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$

Chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+b+a}\geq 1$

 


:icon12: Sống đơn giản cho đời thảnh thơi :icon12:


#2
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

$\frac{a}{\sqrt{a}+b+c}+\frac{b}{\sqrt{b}+a+c}+\frac{c}{\sqrt{c}+a+b}\geq \frac{a}{\sqrt{3(b+c+1)}}+\frac{b}{\sqrt{3(c+a+1)}}+\frac{c}{\sqrt{3(a+b+1)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}(\sqrt{(a+b+c)(2ab+2bc+2ca+a+b+c)})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{\sqrt{3(a+b+c)}}=\frac{\sqrt{a+b+c}}{\sqrt{3}}\geq 1$



#3
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 18-02-2014 - 16:45


#4
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Cách khác mục đích chính là làm mất căn ở mẫu sau đó mới dùng Cauchy Shwars

Theo Cô si có $\sqrt{a}\leq \frac{a+1}{2}$

$P\geq \sum \frac{2a}{a+1+2(b+c)}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+\sum a+4\sum ab}\geq 1$

$\Leftrightarrow 2(\sum a^{2})+4(ab+bc+ac)\geq \sum a^{2}+4(ab+bc+ac)+\sum a\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum a$

Điều này luôn đúng vì $a+b+c\geq \frac{(\sum \sqrt{a})^{2}}{3}=3$

                                  và $a^{2}+1\geq 2a\rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum a -3\geq 3$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh