Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.
CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.
CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$
bài toán này thiên về kĩ thuật hơn là ý tưởng
quy đồng mẫu số 2 biểu thức, thu được $49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc\leq 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-a^{2}b^{2}c^{2}$
tương đương $16+3(a+b+c)abc\geq a^{2}b^{2}c^{2}+8(ab+bc+ca)$
theo Schur, có $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
tương đương $3+3abc(a+b+c)\geq (ab+bc)^{2}+(bc+ca)^{2}+ca(c+a)^{2}$15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$\geq 8(ab+bc+ca)-12$
suy ra $15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$
từ giả thiết, dễ dàng suy ra $a^{2}b^{2}c^{2}\leq 1$
suy ra $16+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)+1\geq 8(ab+bc+ca)+a^{2}b^{2}c^{2}$ đpcm
bài toán này thiên về kĩ thuật hơn là ý tưởng
quy đồng mẫu số 2 biểu thức, thu được $49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc\leq 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-a^{2}b^{2}c^{2}$
tương đương $16+3(a+b+c)abc\geq a^{2}b^{2}c^{2}+8(ab+bc+ca)$
theo Schur, có $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
tương đương $3+3abc(a+b+c)\geq (ab+bc)^{2}+(bc+ca)^{2}+ca(c+a)^{2}$15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$\geq 8(ab+bc+ca)-12$
suy ra $15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$
từ giả thiết, dễ dàng suy ra $a^{2}b^{2}c^{2}\leq 1$
suy ra $16+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)+1\geq 8(ab+bc+ca)+a^{2}b^{2}c^{2}$ đpcm
Hoặc có cách khác như sau :
Ta có:$\sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})=\sum (1-\frac{(2-ab)(2+ab)}{(2+ab)(4-ab)})=\sum (1-\frac{4-a^2b^2}{-(ab-1)^2+9})\leq \sum (1-\frac{4-a^2b^2}{9})=\frac{15}{9}+\sum \frac{a^2b^2}{9}\leq \frac{15}{9}+\frac{\sum a^4}{9}=\frac{18}{9}=2= > \sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$
Vì a,b,c dương và $a^4+b^4+c^4=3$ nên $0<a,b,c<\sqrt[4]{3}\Rightarrow 0<ab,bc,ca<\sqrt{3}<2$
Xét BĐT phụ: $\frac{1}{4-ab}\leq \frac{(ab)^2+5}{18}\Leftrightarrow \frac{(2-ab)(ab-1)^2}{18(4-ab)}\geq 0(true)$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $VT\leq \frac{\sum (ab)^2+15}{18}\leq \frac{\sum a^4+15}{18}=1$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 28-03-2021 - 12:13
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh