Bài 1: Tìm m để pt: x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1-m2)=0 có 3 nghiệm dương phân biệt.
Từ phương trình
$x3 - 2mx^2 + (2m^2 - 1)x + m(1-m^2)=0$
$<=>(x-m)(x^2-mx+m^2-1)=0$
$<=>\begin{bmatrix} x=m & & (1)\\ x^2-mx+m^2-1=0 & & (2) \end{bmatrix}$
Từ $(1)$ suy ra phương trình có nghiệm $x=m$ $=> m > 0$ (vì đề yêu cầu nghiệm dương)
$=>$ phương trình $(2)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác m
suy ra các điều kiện
$\left\{\begin{matrix} \Delta _{2}>0 & & \\ S > 0 & & \\ P > 0 & & \end{matrix}\right.$
Trước hết ta xét $x=m$ => phương trình $(2 )$ trở thành $m^2 - m^2 + m^2 -1 = 0 <=> (m-1)(m+1)=0 <=> \left\{\begin{matrix} m=1 & & \\ m=-1 & & \end{matrix}\right.$
Như vậy với $m = 1$ hoặc $m =-1$ phương trình $(2)$ có nghiệm $x=m$
$=> m \neq 1$ và $=> m \neq -1$
$\Delta _{(2)}=m^2 - 4(m^2-1) = -3m^2+1$
Để phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta _{(2)} > 0$
$=> -3m^2+4>0 => \frac{-4}{\sqrt{3}} < m <\frac{4}{\sqrt{3}}$
Theo Vi-ét ta có
$\left\{\begin{matrix} S = m & & \\ P = m^2 -1 & & \end{matrix}\right.$
$S > 0 => m>0$
$P > 0 => m < -1$ hoặc $m>1$
như vậy ta có các điều kiện
$\left\{\begin{matrix} m>0\\ \frac{-4}{\sqrt{3}} < m <\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \begin{bmatrix} m>1\\ m<-1\end{bmatrix}\\ \\ \end{matrix}\right.$
Như vậy ta có kết quả $1 < m < \frac{4}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 19-02-2014 - 17:40
Solved
