Đến nội dung


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Phương trình vô tỉ - Hệ phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 446 trả lời

#441 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1645 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 22-02-2022 - 15:27

Góp cho topic một bài hệ phương trình thú vị: $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & \\ 4x+y^3-2y^2=-4 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Phương trình (2) tương đương với: $(y+2)(y^2-4y+8)=12-4x$

* Xét $y>-2$ thì $12-4x>0$ nên $x<3$

Và $x^3=y^3+35>-8+35=27\Rightarrow x>3$ (mâu thuẫn)

Tương tự với $y <-2$ thì cũng suy ra vô lí

Vậy $y = -2$ nên $x = 3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#442 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 01-03-2022 - 11:02

Góp cho topic một bài hệ phương trình thú vị: $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & \\ 4x+y^3-2y^2=-4 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Phương trình (2) tương đương với: $(y+2)(y^2-4y+8)=12-4x$

* Xét $y>-2$ thì $12-4x>0$ nên $x<3$

Và $x^3=y^3+35>-8+35=27\Rightarrow x>3$ (mâu thuẫn)

Tương tự với $y <-2$ thì cũng suy ra vô lí

Vậy $y = -2$ nên $x = 3$

Anh cho Topic thêm mấy bài để em củng cố kiến thức chuyên đề này được không anh ?


Death is like the wind, always by my side  :ph34r:


#443 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1645 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 01-03-2022 - 17:12

Anh cho Topic thêm mấy bài để em củng cố kiến thức chuyên đề này được không anh ?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(xy)^3+3xy^3+1=5y^2 & \\ 3xy^3=2y^2+1 & \end{matrix}\right.$

Giải.

Xét y = 0 thì thấy vô lí

Xét $y\neq 0$ thì ta viết hệ dưới dạng: $\left\{\begin{matrix}x^3+3x+\frac{1}{y^3}=\frac{5}{y} & \\ 6x=\frac{4}{y}+\frac{2}{y^3} & \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế hai phương trình trên, ta được: $x^3+9x=\frac{9}{y}+\frac{1}{y^3}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{y})(x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9)=0$

Dễ có $x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9 > 0$ nên $x=\frac{1}{y}$

Thay vào phương trình (2) tìm được $y = 1$ hoặc $y = -1$

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y) = (1,1)$ và $(x,y) = (-1,-1)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#444 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1645 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 03-03-2022 - 07:32

Giải phương trình: $x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$PT\Leftrightarrow (x-5)^3=5(5+\sqrt[3]{2x-9})-3x-9$

Đặt: $y=5+\sqrt[3]{2x-9}$ thì ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(y-5)^3=2x-9 & \\ (x-5)^3=5y-3x-9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x-5)^3-(y-5)^3+5(x-y)=0\Rightarrow x=y$

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#445 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 03-03-2022 - 10:50

Giải phương trình: $x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$PT\Leftrightarrow (x-5)^3=5(5+\sqrt[3]{2x-9})-3x-9$

Đặt: $y=5+\sqrt[3]{2x-9}$ thì ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(y-5)^3=2x-9 & \\ (x-5)^3=5y-3x-9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x-5)^3-(y-5)^3+5(x-y)=0\Rightarrow x=y$

Anh ơi anh có thể chỉ viết đề được không hoặc đáp án để ở bài viết sau hoặc ẩn đi được ko ?

P/s : Em muốn thức sức vs các bài này  ~O)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 03-03-2022 - 10:53

Death is like the wind, always by my side  :ph34r:


#446 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1645 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 03-03-2022 - 11:22

Anh ơi anh có thể chỉ viết đề được không hoặc đáp án để ở bài viết sau hoặc ẩn đi được ko ?

P/s : Em muốn thức sức vs các bài này  ~O)

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#447 KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1645 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 17-03-2022 - 12:08

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$

Lời giải.

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là $-3<x<\frac{-1}{3}$ hoặc $x>0$

+) Nếu $-3<x<\frac{-1}{3}$ thì $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}=\frac{1}{\sqrt{4+(x-1)(x+2)^2}}>\frac{1}{2}$

và $2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{4x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{x-5}{4(3x+1)}}>\sqrt{\frac{5}{4}}>1$

Suy ra: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}>\frac{3}{2}$ (vô lí)

Vậy $x>0$

Xét $0<x\leqslant 1$ thì $3x^2+x^3\leqslant 3x^2+x$ nên $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}\geqslant \frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}$

Mà ta dễ có: $\frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}\geqslant \frac{3}{2}$ do biến đổi tương đương nên dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Nếu $x>1$ thì ngược lại điều trên ta có điều vô lí

Vậy $x=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh