Chứng minh A chéo hoá được
#1
Đã gửi 23-02-2014 - 03:17
Cho A là ma trận thoả mãn $A^3=A$, chứng minh rằng A chéo hoá được. Trường hợp $A^4=A$ thì sao?
- quangbinng yêu thích
#2
Đã gửi 23-02-2014 - 08:41
#3
Đã gửi 23-02-2014 - 09:20
#4
Đã gửi 29-11-2014 - 23:03
Anh có thể nêu cách chứng minh đó được không ạ.
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#5
Đã gửi 05-12-2014 - 05:51
Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
#6
Đã gửi 05-12-2014 - 07:09
Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.
Đa thức cực tiểu có nghiệm đơn thì sao A lại chéo hóa được.
#7
Đã gửi 05-12-2014 - 11:12
Xin phép lấy ở đây. http://forum.mathsco...ead.php?t=48955
Hoặc xem thêm trong tài liệu thầy Phùng Hồ Hải.
- vohuytang yêu thích
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
#8
Đã gửi 06-12-2014 - 07:57
Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.
Đúng!
#9
Đã gửi 13-01-2015 - 22:59
Một bài khá khá nè, mọi người làm cho vui. Có nhiều cách giải nhé.
Cho A là ma trận thoả mãn $A^3=A$, chứng minh rằng A chéo hoá được. Trường hợp $A^4=A$ thì sao?
Giả sử $A$ lấy hệ số trên trường $\mathbb{K}$
Giải một cách sơ cấp:
Ta có: $\frac{1}{2}x(x+1)+\frac{1}{2}x(x-1)-(x-1)(x+1)=1 \;, \forall x \in \mathbb{K}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}A(A+I)X+\frac{1}{2}A(A-I)X-(A-I)(A+I)X=X ,\; \forall X \in \mathbb{K}^n $
Do $A(A-I)(A+I)=0$ nên $A(A+I)X \in Ker(A-I) , \; A(A-I)X \in Ker (A+I), \; (A-I)(A+I)X \in Ker A \;, \forall X \in \mathbb{K}^n$
Suy ra $\mathbb{K}^n \subset Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)$ , đồng thời $Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I) \subset \mathbb{K}^n$
nên $\mathbb{K}^n = Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)$
Ký hiệu $E(\lambda)$ là không gian con riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $\lambda$
Do các trị riêng của $A$ đều là nghiệm của phương trình $x^3-x=0$ nên $Spec(A) \subset \{0;-1;1\}$, hơn nữa nếu $\lambda \not\in Spec(A)$ thì $Ker(A-\lambda I) =\{0\}$ nên
$$\sum_{\lambda \in Spec(A)} E(\lambda)=Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)=\mathbb{K}^n$$
Vậy $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{K}$
Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.
Tổng quát: Ma trận $A \in M_n(\mathbb{K})$ chéo hóa được trên $\mathbb{K}$ khi và chỉ khi tồn tại đa thức trên $\mathbb{K}[X]$ triệt tiêu A và tách đơn trên $\mathbb{K}$ (các nghiệm đều đơn và thuộc $\mathbb{K}$.
Chứng minh: Xem trang 67, Đại số 2, Jean Marie Monier.
File pdf: http://diendantoanho...n-marie-monier/
Định lý tương tự là: A chéo hóa được trên K khi và chỉ khi đa thức tối tiểu tách đơn trên K.
Nói thêm, các trị riêng của A là các nghiệm của đa thức tối tiểu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 13-01-2015 - 22:59
- 1110004 yêu thích
#10
Đã gửi 15-01-2015 - 11:37
Giả sử $A$ lấy hệ số trên trường $\mathbb{K}$
Giải một cách sơ cấp:
Ta có: $\frac{1}{2}x(x+1)+\frac{1}{2}x(x-1)-(x-1)(x+1)=1 \;, \forall x \in \mathbb{K}$
cài này ở đâu ra?
#11
Đã gửi 15-01-2015 - 15:13
cài này ở đâu ra?
Mình đã ghi rõ trên kia, xem chứng minh tổng quát ở:
"Chứng minh: Xem trang 67, Đại số 2, Jean Marie Monier.
File pdf: http://diendantoanho...n-marie-monier/"
Với $P(x)=a\prod_{i=1}^n(x-x_i)$ , $Q_k(x)=\prod_{1 \le i \le n, \; i \neq k}(x-x_i)$
Đa thức $\sum_{k=1}^n \dfrac{Q_k(x)}{Q_k(x_k)}-1$ bậc không quá $n-1$ nhưng lại có $n$ nghiệm do đó là đa thức $0$ hay
$\sum_{k=1}^n \dfrac{Q_k(x)}{Q_k(x_k)}=1$
#12
Đã gửi 01-02-2019 - 21:01
ta có
$r(A)+r(A-E)+r(A+E) \leq r(A(A-E))+n +r(A+E) \leq r(A(A-E)(A+E))+2n =2n $
do đó
$ \dim(Ker A)+\dim (Ker A-E) + \dim(Ker A+E) \geq n $
do đó n có đủ n vtr đltt ( tương úng với các gtr 0,1-1 ) nên chéo hoá đc
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 01-02-2019 - 21:03
#13
Đã gửi 01-02-2019 - 21:03
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 01-02-2019 - 21:03
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh