Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh A chéo hoá được

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
Một bài khá khá nè, mọi người làm cho vui. Có nhiều cách giải nhé.

Cho A là ma trận thoả mãn $A^3=A$, chứng minh rằng A chéo hoá được. Trường hợp $A^4=A$ thì sao?
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#2
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

$A$ là ma trận cấp $n$ à bạn


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#3
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
Đúng rồi bạn
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#4
quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Anh có thể nêu cách chứng minh đó được không ạ.


Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#5
ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#6
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.

Đa thức cực tiểu có nghiệm đơn thì sao A lại chéo hóa được.



#7
ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Xin phép lấy ở đây. http://forum.mathsco...ead.php?t=48955

Hoặc xem thêm trong tài liệu thầy Phùng Hồ Hải.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#8
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.

 

 

Đúng! 


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#9
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Một bài khá khá nè, mọi người làm cho vui. Có nhiều cách giải nhé.

Cho A là ma trận thoả mãn $A^3=A$, chứng minh rằng A chéo hoá được. Trường hợp $A^4=A$ thì sao?

 

Giả sử $A$ lấy hệ số trên trường $\mathbb{K}$

 

Giải một cách sơ cấp:

 

Ta có: $\frac{1}{2}x(x+1)+\frac{1}{2}x(x-1)-(x-1)(x+1)=1 \;,  \forall x \in \mathbb{K}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{2}A(A+I)X+\frac{1}{2}A(A-I)X-(A-I)(A+I)X=X ,\; \forall X \in \mathbb{K}^n $

 

Do $A(A-I)(A+I)=0$ nên $A(A+I)X \in Ker(A-I) , \; A(A-I)X \in Ker (A+I), \; (A-I)(A+I)X \in Ker A \;, \forall X \in \mathbb{K}^n$

 

Suy ra $\mathbb{K}^n \subset Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)$ , đồng thời $Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I) \subset \mathbb{K}^n$

nên $\mathbb{K}^n = Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)$

 

Ký hiệu $E(\lambda)$ là không gian con riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $\lambda$

 

Do các trị riêng của $A$ đều là nghiệm của phương trình $x^3-x=0$ nên $Spec(A) \subset \{0;-1;1\}$, hơn nữa nếu $\lambda \not\in Spec(A)$ thì $Ker(A-\lambda I) =\{0\}$ nên

 

 $$\sum_{\lambda \in Spec(A)} E(\lambda)=Ker(A)+Ker(A-I)+Ker(A+I)=\mathbb{K}^n$$

 

Vậy $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{K}$

 

 

Đa thức cực tiểu là ước của $x^3-x$. Đa thức này chỉ có nghiệm đơn. Do đó $A$ chéo hoá được.

 

Tổng quát: Ma trận $A \in M_n(\mathbb{K})$ chéo hóa được trên $\mathbb{K}$ khi và chỉ khi tồn tại đa thức trên $\mathbb{K}[X]$ triệt tiêu A và tách đơn trên $\mathbb{K}$ (các nghiệm đều đơn và thuộc $\mathbb{K}$.

 

Chứng minh: Xem trang 67, Đại số 2, Jean Marie Monier.

 

File pdf: http://diendantoanho...n-marie-monier/

 

 

Định lý tương tự là: A chéo hóa được trên K khi và chỉ khi đa thức tối tiểu tách đơn trên K.

 

Nói thêm, các trị riêng của A là các nghiệm của đa thức tối tiểu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 13-01-2015 - 22:59

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#10
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Giả sử $A$ lấy hệ số trên trường $\mathbb{K}$

 

Giải một cách sơ cấp:

 

Ta có: $\frac{1}{2}x(x+1)+\frac{1}{2}x(x-1)-(x-1)(x+1)=1 \;,  \forall x \in \mathbb{K}$

 

 

cài này ở đâu ra?


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#11
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

cài này ở đâu ra?

 

Mình đã ghi rõ trên kia, xem chứng minh tổng quát ở:

"Chứng minh: Xem trang 67, Đại số 2, Jean Marie Monier.

 

File pdf: http://diendantoanho...n-marie-monier/"

 

Với $P(x)=a\prod_{i=1}^n(x-x_i)$ , $Q_k(x)=\prod_{1 \le i \le n, \; i \neq k}(x-x_i)$

Đa thức $\sum_{k=1}^n \dfrac{Q_k(x)}{Q_k(x_k)}-1$ bậc không quá $n-1$ nhưng lại có $n$ nghiệm do đó là đa thức $0$ hay

$\sum_{k=1}^n \dfrac{Q_k(x)}{Q_k(x_k)}=1$


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#12
san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
(nhắc lại bđt sylvester $ r(A)+r(B) \leq r(AB)+n $ (chứng minh bdt này vô cùng đơn giản
ta có
$r(A)+r(A-E)+r(A+E) \leq r(A(A-E))+n +r(A+E) \leq r(A(A-E)(A+E))+2n =2n $
do đó
$ \dim(Ker A)+\dim (Ker A-E) + \dim(Ker A+E) \geq n $
do đó n có đủ n vtr đltt ( tương úng với các gtr 0,1-1 ) nên chéo hoá đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 01-02-2019 - 21:03


#13
san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 01-02-2019 - 21:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh