Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $3$ số thực $x,y,z$ . Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong $3$ số $(x-y)^2,..$. Chứng minh $m \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $3$ số thực bất kỳ $x,y,z$. Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong $3$ số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$

Chứng minh : $$m \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $3$ số thực bất kỳ $x,y,z$. Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong $3$ số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$

Chứng minh : $$m \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$$

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$ 

m là số nhỏ nhất trong 3 số $(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2$ suy ra $\sqrt{m}$ là số nhỏ nhất trong 3 số $|x-y|,|y-z|,|z-x|$

Ta có: $|z-x|=x-z=(x-y)+(y-z)=|x-y|+|y-z|\geqslant 2\sqrt{m}$

Nên $(x-z)^2\geqslant 4m$

Do đó ta có: $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2\geqslant 6m\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 6m\Rightarrow m\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{2}(Q.E.D)$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh