Môn: Đại số
Câu 1: Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$
(a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$
(b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$.
Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$
Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$
Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm.
(a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$.
(b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận hoán vị.
Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$
(a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$
(b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
Môn: Giải tích
Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$
Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ.
Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$.
(a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1=0$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$
(b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$.
Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$
(a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$
(b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không?
Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$
Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$
Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-02-2014 - 12:21