Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2014

olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Môn: Đại số

 

Câu 1:  Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$

 

(a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$

(b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$.

 

Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$

 

Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$

 

Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm.

 

(a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$.

(b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận hoán vị.

 

Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$

 

(a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$

(b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

 

Môn: Giải tích

 

Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$

Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ.

 

Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$.

 

(a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1=0$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$

(b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$.

 

Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$

 

(a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$

(b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không?

 

Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$

 

Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-02-2014 - 12:21

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

 


Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$


 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$\int_0^1 f^2(x)dx \int_0^1 (x+t)^2 dx \ge \left(\int_0^1 f(x)(x+t)dx \right )^2=(1+t)^2$$

$$\Rightarrow \int_0^1 f^2(x)dx \ge \frac{3(1+t)^2}{3t^2+3t+1}=f(t)$$

Khảo sát hàm này ta có $\max f(t)=4$

Do đó $$\int_0^1 f^2(x) dx \ge 4$$

 

Vậy bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-02-2014 - 23:32

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

 

Môn: Đại số

 

Câu 1:  Cho đa thức $f(x)=(p_1-x)(p_2-x)\ldots (p_n-x)$, trong đó $p_i\text{ } (1\leq i\leq n)$ là các hằng số, và cho $$\Delta _n=\begin{vmatrix} p_1 & a & a & a & \cdots & a & a \\ b & p_2 & a & a & \cdots & a &a \\ b & b & p_3 & a & \cdots & a & a\\ b & b & b & p_4 & \cdots & a & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b & b & b & b & \cdots & p_{n-1} & a\\ b & b & b & b & \cdots & b & p_n \end{vmatrix}$$

 

(a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì $$\Delta_n=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$$

(b) Chứng minh rằng nếu $a=b$ thì $$\Delta _n=a\sum_{i=1}^{n}f_i(a)+p_nf_n(a)$$ trong đó $f_i(a)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(p_j-a)$ với mọi $1\leq i\leq n$.

 

Câu 2: Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu mtraanuj $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$ Hơn nữa, nếu $A$ khả nghịch thì $D=CA^{-1}B$

 

Câu 3: Cho $A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})$ có hạng $r$, $r\geq 1$. Chứng minh rằng $A^2=A$ khi và chỉ khi tồn tại các ma trận $B\in Mat(n\times r,\mathbb{R})$ và $B\in Mat(r\times n,\mathbb{R})$ đều có hạng bằng $r$ thoả mãn $A=BC$ và $CB=I_r$. Hơn nữa, chứng minh rằng nếu $A^2=A$ thì $$\left | 2I_n-A \right |=2^{n-r} \text{ và } \left | A+I_n \right |=2^r$$

 

Câu 4: Một ma trận hoán vị cấp $k$ là ma trận vuông cấp $k$ mà mỗi dòng, mỗi cột có đúng một phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Cho A là một ma trận vuông cấp $k$ $(k\geq 1)$ khả nghịch mà các phần tử của nó là các số nguyên không âm.

 

(a) Chứng minh rằng tồn tại ma trận hoán vị $P$ cấp $k$ và ma trận vuông $B$ cấp $k$ với các phần tử là các số nguyên không âm sao cho $A=P+B$.

(b) Chứng minh rằng nếu tổng tất cả các phần tử của ma trận $A^n$ là bị chặn trên bởi một hằng số với mọi $n$ thì $A$ phải là ma trận đơn vị.

 

Câu 5: Cho $n$ là số nguyên dương và gọi $$f(x)=x^n+(k+1)x^{n-1}+(2k+1)x^{n-2}+\cdots+((n-1)k+1)x+nk+1$$

 

(a) Chứng minh rằng $f(1-k)=n+1$

(b) Chứng minh rằng nếu $n\geq 3$ và $k=2$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

 

Môn: Giải tích

 

Câu 1: Giả sử $a$ là số thực dương. Định nghĩa dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ bởi qui nạp: $$x_0=0,\text{ } x_{n+1}=a+x_n^2 \text{ với mọi } n\geq0$$

Tìm một điều kiện cần và đủ của $a$ để dãy $\left \{ x_n \right \}_{n=0}^{\infty }$ hội tụ.

 

Câu 2: Cố định một số nguyên $n\geq 1$.

 

(a) Chứng minh phương trình $$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1$$ có duy nhất một nghiệm dương $a_n$

(b) Chứng minh rằng $$a_n^{n+1}-2a_n+1=0$$ và từ đó tìm $\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }a_n$.

 

Câu 3: Cho $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục cấp 3. Giả sử rằng cả $f,\text{ }f^{'''}$ đều bị chặn và đặt $$M_0=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f(x) \right |, M_3=\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'''}(x) \right |$$

 

(a) Chứng minh rằng $f^{'}(x)$ bị chặn và $$\underset{x\in\mathbb{R}}{\sup}\left | f^{'}(x) \right |\leq \frac{1}{2}(9M_0^2M_3)^{\frac{1}{3}}$$

(b) Đạo hàm cấp hai $f^{''}$ có bị chặn không?

 

Câu 4: Giả sử $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả tích trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ sao cho $$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$$

Chứng minh rằng $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\geq 4$$

 

Câu 5: Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục $f\colon \left [ 0,1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x)+f(x^2)=x \text{ với mọi }x\in \left [ 0,1 \right ]$$

 

Đề năm nay sao các trường cho toàn câu cũ thế này nhỉ?


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#4
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Đề năm nay sao các trường cho toàn câu cũ thế này nhỉ?

đề đại số hay đó chứ a :)


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic toán sinh viên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh