Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình sau :
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}_{+}$ là tập tất cả các số thực dương. Tìm tất cả hàm $f \, : \, \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ thỏa mãn :
$$f(xf(y))=\frac{f(x)+f(y)}{x^3+y^3}.y^{12}\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}_{+}$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $\widehat{BAC}>45^{o}$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Dựng ra ngoài tam giác $ABC$ các hình vuông $ABKL$, $ACMN$. Các đường thẳng $AN,AL$ theo thứ tự cắt $CM,BK$ tại $E,F$. Gọi $P$ là giao điểm thuộc tam giác $ABC$ của các đường tròn $(LME)$, $(NFK)$. Chứng minh rằng :
1. $E,F,O,P$ thẳng hàng.
2. $B,C,O,P$ thuộc cùng 1 đường tròn.
Bài 4. Cho $n$ là 1 số nguyên dương $\geq 7$. Tìm số các số nguyên $k$ thỏa mãn :
1. $k\in \{0;1;2;.....;2^{n}-1\}$
2. $2013^{47^{k}}\equiv 29 \pmod{2^{n}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 19-03-2014 - 16:25