Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $A$ là ma trận phản đối xứng có hệ số thực cấp $4\times 4$. Chứng minh rằng $\det A\geq 0$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Cho $A$ là ma trận phản đối xứng có hệ số thực cấp $4\times 4$. Chứng minh rằng $\det A\geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 25-02-2014 - 21:41

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

$A^T=-A$. Lấy determinant hai vế $det(A)=det(A^T)=(-1)^ndet(A)$. Từ đó đpcm

 

 

@vo van duc:

+ determinant: định thức


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-02-2014 - 10:37

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#3
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

$A^T=-A$. Lấy determinant hai vế $det(A)=det(A^T)=(-1)^ndet(A)$. Từ đó đpcm

bạn suy ra điều phải cm ở đâu,lời giải sai rồi ạ.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#4
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
Ấy cha, mình mắt nhắm mắt mở nhìn ko kỹ. Sorry nhé. Đây là lời giải đúng đây.

Tuy ma trận là hệ số thực , nhưng mình cứ coi nó là một ma trận phức với hệ số thực nhé.
Do đó ta có nhận xét như sau:

$A^{*}=A^T=-A$ (ở đây $A^*$ là conjugate transpose của A, hoặc là adjoint của A)

Dễ dàng thấy rằng, $A^{*}A=AA^{*}$, do đó, A là normal.
Áp dụng định lý spectral theorem, ta suy ra A chéo hoá được.

Ta chứng minh vài điều sau:

1/ Nếu $c$ là một eigenvalue của A, thì $-c$ cũng là một eigenvalue cho A.

Thực vậy,$A$ và $A^T$ là mà trận đồng dạng nên chúng có cùng eigenvalue.
Nếu c là một eigenvalue của $A$, thì -c là một eigenvalue $-A$.
Do $-A=A^T$, nên -c là một eigenvalue của $A^T$, và do đó, -c cũng là một eigenvalue của A.

Từ đó suy ra, eigenvalue của một ma trận phản đối xứng luôn có dạng $\pm c$

2/ Các eigenvalue của A là số thuần ảo: Giả sử c là một eigenvalue của A.
Ta có $<Ax, x> = <x, A^{*}x> = <x, -Ax>$
Và $<Ax, x> = <cx, x> = c<x, x>$
$<x, -Ax> = <x, -cx> = -\bar{c}<x,x>$

Do đó, $c=-\bar{c}$, điều này chỉ có thể khi c=b*i với b là số thực.

Từ 1/ và 2/ ta có các eigenvalue của A có thể là a*i, -a*i, b*i, -b*i (chú ý rằng a có thể bằng b)

det(A)= tích của các eigenvalues của A. Do đó, det(A) phải là số ko âm.

Thực ra, dễ dàng thấy rằng, cách chứng minh này có thể suy ra mọi ma trận phản xứng cấp chẵn đều có determinant không âm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-02-2014 - 08:38

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#5
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Ấy cha, mình mắt nhắm mắt mở nhìn ko kỹ. Sorry nhé. Đây là lời giải đúng đây.

Tuy ma trận là hệ số thực , nhưng mình cứ coi nó là một ma trận phức với hệ số thực nhé.
Do đó ta có nhận xét như sau:

$A^{*}=A^T=-A$ (ở đây $A^*$ là conjugate transpose của A, hoặc là adjoint của A)

Dễ dàng thấy rằng, $A^{*}A=AA^{*}$, do đó, A là normal.
Áp dụng định lý spectral theorem, ta suy ra A chéo hoá được.

Ta chứng minh vài điều sau:

1/ Nếu $c$ là một eigenvalue của A, thì $-c$ cũng là một eigenvalue cho A.

Thực vậy,$A$ và $A^T$ là mà trận đồng dạng nên chúng có cùng eigenvalue.
Nếu c là một eigenvalue của $A$, thì -c là một eigenvalue $-A$.
Do $-A=A^T$, nên -c là một eigenvalue của $A^T$, và do đó, -c cũng là một eigenvalue của A.

Từ đó suy ra, eigenvalue của một ma trận phản đối xứng luôn có dạng $\pm c$

2/ Các eigenvalue của A là số thuần ảo: Giả sử c là một eigenvalue của A.
Ta có $<Ax, x> = <x, A^{*}x> = <x, -Ax>$
Và $<Ax, x> = <cx, x> = c<x, x>$
$<x, -Ax> = <x, -cx> = -\bar{c}<x,x>$

Do đó, $c=-\bar{c}$, điều này chỉ có thể khi c=b*i với b là số thực.

Từ 1/ và 2/ ta có các eigenvalue của A có thể là a*i, -a*i, b*i, -b*i (chú ý rằng a có thể bằng b)

det(A)= tích của các eigenvalues của A. Do đó, det(A) phải là số ko âm.

Thực ra, dễ dàng thấy rằng, cách chứng minh này có thể suy ra mọi ma trận phản xứng cấp chẵn đều có determinant không âm.

số thực cũng chỉ là số phức với phần ảo bằng 0 thôi,nên hiển nhiên ta có thể  xem đó là ma trận phức.

Một mở rộng nhỏ cho trường hợp cấp ma trận lẻ là :ma trận có 1 trị riêng là 0 còn chẵn lần các trị riêng còn lại đối nhau từng đôi một:ia,-ia,...,in,-in.

Kết hợp:định thức của ma trận đối xứng là một số không âm :)


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh