Tìm các hàm f: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả:
$$f(x-y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$(*); $\forall x,y\in\mathbb{R}$$
Đề của bachhammer
$f(x-y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$ (1)
Thay $x=y=0$ vào phương trình hàm trên ta thu được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$
Xét 2TH:
TH1: $f(0)=0$. Thay $x=0$ vào $(1)$, ta thu được:
$f(-y)=-f(y)$, $\forall y \in \mathbb{R}$ (2)
Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ và theo $(2)$, ta được:
$f(x+y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x)f(y)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$ (3)
Cộng (3) và (1) theo vế, ta được:
$f(x+y)+f(x-y)=f(2x)$
Đặt $u=x+y$, $v=x-y$, thay vào PT trên ta được:
$f(u)+f(v)=f(u+v)$, $\forall u,v \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$ (4)
Từ $(3)$ và $(4)$ ta thu được:
$f(x)f(y)=f(xy)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$ (5)
Thay $x=y$ vào $(4)$, ta được:
$f(2x)=2f(x)$ (6)
Lấy $x=0$ thay vào $(6)$, ta được $f(0)=0$
Giả sử $f(nx)=nf(x)$, $n \in \mathbb{N}$
Suy ra $f((n+1)x)=(n+1)f(x)$
Theo giả thiết quy nạp, ta có:
$f(nx)=nf(x)$, $\forall n \in \mathbb{N}$ (7)
Mặt khác, áp dụng (2) và (7) ta thu được:
$f(nx)=nf(x)$, $\forall n \in \mathbb{Z}$ (8)
Và với mọi $n=1,2,3,....,$, ta có:
$f(x)=f\left ( \frac{1}{n}.nx \right )=nf(\frac{1}{n}x)$
Với mọi $m,n \in \mathbb{Z}$, $n>0$, ta có:
$f\left ( \frac{m}{n}x \right )=mf(\frac{1}{n}x)=\frac{m}{n}f(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$
Vì vậy, $f(rx)=rf(x)$, $\forall x \in \mathbb{R}$, $\forall r \in \mathbb{Q}$ (9)
Mặt khác, $f(xy)=f(x)f(y)$ (10)
Thay $y=x$, ta được $f\left ( x^2 \right )=\left [ f(x) \right ]^2$
Vậy $f(x) \geq 0$, $\forall x \geq 0$
Từ (9) và (10), ta thu được:
$rf(x)=f(rx)=f\left ( r \right )f(x)$, $\forall r \in \mathbb{Q}$, $\forall x \in \mathbb{R}$ (11)
Dễ thấy $f(x)\equiv 0$ thoả mãn ycđb
Xét $f(x) \not \equiv 0$:
Khi đó tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) \neq 0$
Từ (11), thay $x=x_0$, ta được:
$f\left ( r \right )$
Bây giờ ta sẽ chứng minh hàm đồng biến. Xét $y>x$:
$f\left ( y \right )=f\left ( y-x \right )+f(x)\geq f(x)$
Vậy $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Với $x$ tuỳ ý, xét 2 dãy số hữu tỉ $u_n$ và $v_n$ sao cho:
$u_n\leq x\leq v_n$, $\forall n=1,2,...$; $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=x$
Vì $f$ tăng nên kết hợp với $f\left ( r \right )$, ta có:
$f\left ( u_n \right ) \leq f(x) \leq f(v_n)$
$\Leftrightarrow u_n\leq f(x)\leq v_n$
Cho $n\rightarrow +\infty$, ta được:
$\Leftrightarrow x\leq f(x)\leq x$
Vậy $f(x)=x$, $\forall x \in \mathbb{R}$
Vậy có hai hàm số thoả mãn ycđb:
$f(x)=0$, $\forall x \in \mathbb{R}$
$f(x)=x$, $\forall x \in \mathbb{R}$
Thử lại thấy đúng
TH2:$f(0)=2$
Thay $x=0$ vào (1), ta được:
$f(-y)+2=2-f(y)+2f(y)$
Hay $f$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$
Thay $y$ bởi $-y$ vào (1), ta được:
$f(x+y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$
Từ đây suy ra $f(x+y)=f(x-y)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$
Thay $y=x$, ta được: $f(2x)=f(0)=2$, $\forall x \in \mathbb{R}$
Hay $f(x)=2$, $\forall x \in \mathbb{R}$
Thử lại thấy đúng
Từ 2 TH trên có 3 hàm số thoả ycđb:
$f(x)=0$, $\forall x \in \mathbb{R}$
$f(x)=2$, $\forall x \in \mathbb{R}$
$f(x)=x$, $\forall x \in \mathbb{R}$