Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhia
Ta có : $\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\left ( x+y+z \right )\geq \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}$
Ta lại có : $xyz\geq \left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )=\frac{27}{8}-\frac{9}{2}\left ( x+y+z \right )-8xyz+6\left ( xy+zx+yz \right )\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{8}+\frac{2}{3}\left ( xy+yz+xz \right )$
$\Rightarrow S\geq \frac{2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}+\left ( \frac{3}{8}-\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \right )^2$
đến đây chắc là xong
Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
AM-GM: $x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\geq \frac{1}{4}xyz\Rightarrow 4S\geq 4(x^3+y^3+z^3)+xyz-\frac{1}{16}(1)$
SCHUR: $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq (x+y+z)^3=\frac{27}{8}(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $4S\geq \frac{27}{8}-\frac{1}{16}-14xyz\geq \frac{53}{16}-14.\frac{1}{8}=\frac{25}{16}\Rightarrow S\geq \frac{25}{64}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$
Lời giải. Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$
Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$
Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$
Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$
Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh