Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$ 


79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$ 

Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhia

Ta có : $\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\left ( x+y+z \right )\geq \left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}$

Ta lại có : $xyz\geq \left ( x+y-z \right )\left ( x+z-y \right )\left ( y+z-x \right )=\frac{27}{8}-\frac{9}{2}\left ( x+y+z \right )-8xyz+6\left ( xy+zx+yz \right )\Rightarrow xyz\geq \frac{3}{8}+\frac{2}{3}\left ( xy+yz+xz \right )$

$\Rightarrow S\geq \frac{2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}+\left ( \frac{3}{8}-\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \right )^2$

đến đây chắc là xong


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$ 

AM-GM: $x^2y^2z^2+\frac{1}{64}\geq \frac{1}{4}xyz\Rightarrow 4S\geq 4(x^3+y^3+z^3)+xyz-\frac{1}{16}(1)$

SCHUR: $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq (x+y+z)^3=\frac{27}{8}(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $4S\geq \frac{27}{8}-\frac{1}{16}-14xyz\geq \frac{53}{16}-14.\frac{1}{8}=\frac{25}{16}\Rightarrow S\geq \frac{25}{64}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$ 

Lời giải. Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$

Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$

Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$

Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh