Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM năm 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Đề thi Olympic toán sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM năm 2014

Thời gian: 180 phút

 

085152_hcmus.jpg

 

Môn: GIẢI TÍCH

Bài 1 (2 điểm): Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f:\mathbb{R}= \mathbb{Q}$ với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỉ.

 

Bài 2 (2 điểm): Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:

a. $f(xf(y))=yf(x),\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}$

b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x\rightarrow \infty$

 

Bài 3: (2 điểm): Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n}\leq b_{n},\forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $-\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.

 

Bài 4: (2 điểm): Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.

 

Bài 5: (1,5 điểm): Một hàm $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K>0$ sao cho $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|,\forall x, y \in D.$ Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lípchitz.

 

Bài 6: (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau đây:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\frac{1+\log_{2}n}{2},\forall n \geq 1$$

từ đó suy ra 

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$$

 

Môn: ĐẠI SỐ

Câu 1: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\ ...................\\ x_{98}+x_{99}+x_{100}=0\\ x_{99}+x_{100}+x_{1}=0\\ x_{100}+x_{1}+x_{2}=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2: Cho hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0 \end{matrix}\right.$$

Hai người lần lượt điền các hệ số vào chỗ đánh dấu $*$. Chứng minh rằng người đi đầu bao giờ cũng có thể làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất. Người thứ hai có luôn đạt điều đó không? Đối với một hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn, $n$ phương trình thì sao?

 

Câu 3: Tính định thức:

$$I_{n}=\begin{vmatrix} 5 & 3 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 3 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

 

Câu 4: Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thỏa $\det(A\pm B)\neq 0$. Đặt:

$$M=\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}$$

Chứng minh rằng $\det (M)\neq 0$

 

Câu 5: Cho $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$ sao cho tồn tại các số thực $\alpha ,\beta \neq 0$ thỏa mãn: $AB+\alpha A+ \beta B=0$. Chứng minh rằng $AB=BA$.

 

Câu 6: Chứng minh rằng nếu $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thì $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 04-03-2014 - 08:35

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#2
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

 

Đề thi Olympic toán sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM năm 2014

Thời gian: 180 phút

 

attachicon.gif085152_hcmus.jpg

 

Môn: GIẢI TÍCH

Bài 1 (2 điểm): Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f:\mathbb{R}= \mathbb{Q}$ với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỉ.

 

Bài 2 (2 điểm): Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:

a. $f(xf(y))=yf(x),\forall x,y \in \mathbb{R}^{+}$

b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x\rightarrow \infty$

 

Bài 3: (2 điểm): Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n}\leq b_{n},\forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $-\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.

 

Bài 4: (2 điểm): Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.

 

Bài 5: (1,5 điểm): Một hàm $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K>0$ sao cho $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|,\forall x, y \in D.$ Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lípchitz.

 

Bài 6: (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau đây:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\frac{1+\log_{2}n}{2},\forall n \geq 1$$

từ đó suy ra 

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$$

 

Môn: ĐẠI SỐ

Câu 1: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\ ...................\\ x_{98}+x_{99}+x_{100}=0\\ x_{99}+x_{100}+x_{1}=0\\ x_{100}+x_{1}+x_{2}=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2: Cho hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0\\ *x+*y+*z=0 \end{matrix}\right.$$

Hai người lần lượt điền các hệ số vào chỗ đánh dấu $*$. Chứng minh rằng người đi đầu bao giờ cũng có thể làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất. Người thứ hai có luôn đạt điều đó không? Đối với một hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn, $n$ phương trình thì sao?

 

Câu 3: Tính định thức:

$$I_{n}=\begin{vmatrix} 5 & 3 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 2 & 5 & 3 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 3 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

 

Câu 4: Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thỏa $\det(A\pm B)\neq 0$. Đặt:

$$M=\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}$$

Chứng minh rằng $\det (M)\neq 0$

 

Câu 5: Cho $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$ sao cho tồn tại các số thực $\alpha ,\beta \neq 0$ thỏa mãn: $AB+\alpha A+ \beta B=0$. Chứng minh rằng $AB=BA$.

 

Câu 6: Chứng minh rằng nếu $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thì $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.

 

Mình thắc mắc một tí là ở câu này 2 người chỉ được điền các phần tử từ trái qua phải từ trên xuống dưới hay là có thể điền vào vị trị bất kì ?


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#3
ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Từ trái qua phải từ trên xuống dưới đó.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh