Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. CM $$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 06-03-2014 - 22:48

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :
$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 12-03-2015 - 21:48

 

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :
$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

 

Áp dụng công thức hàm cos ta có $b^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\left ( \frac{3\Pi }{7} \right )\Rightarrow \frac{a}{b}=2cos\left ( \frac{3\Pi }{7} \right )$

Ta có: $a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b} \right )^{4}-3\left ( \frac{a}{b} \right )^{2}-\left ( \frac{a}{b} \right )+1=0$

Do đó ta cần chứng minh $16\alpha ^{4}-12\alpha ^{2}-2\alpha +1=0$ với $\alpha =cos\frac{3\Pi }{7}$

                               $\Leftrightarrow 2\left ( 8\alpha ^{4}-8\alpha ^{2}+1 \right )+2\left ( 2\alpha ^{2}-1 \right )-2\alpha =-1$

                               $\Leftrightarrow 2cos\frac{12\Pi }{7}+2cos\frac{6\Pi }{7}-2cos\frac{3\Pi }{7}=-1$

                               $\Leftrightarrow  cos\frac{\Pi }{7}-cos\frac{2\Pi }{7}+cos\frac{3\Pi }{7}=\frac{1}{2}$

Mà ta có:

 $sin\frac{\Pi }{7}\left ( cos\frac{\Pi }{7}-cos\frac{2\Pi }{7}+cos\frac{3\Pi }{7} \right )=sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{\Pi }{7}-sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{2\Pi }{7}+sin\frac{\Pi }{7}cos\frac{3\Pi }{7}$

$=\frac{1}{2}\left ( sin\frac{\Pi }{7}+sin\frac{4\Pi }{7}-sin\frac{3\Pi }{7} \right )=\frac{1}{2}sin\frac{\Pi }{7}$

(Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho từng tích và $sin\frac{3\Pi }{7}=sin\frac{4\Pi }{7}$)

Vậy ta có điều phải chứng minh


:lol:Thuận :lol:




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh