Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

 



#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
 

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có : $\left (\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}} \right )^2=\left (\sum \sqrt{x+z}.\sqrt{\frac{x}{(x+z)(x+y)}} \right )^2\leq \left ( x+z+y+z+x+y \right )\left [ \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)} \right ] =\frac{2\left ( x+y+z \right )2\left ( xy+yz+xz \right )}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{9}{2}$

Ta có : $\left ( \sum x \right )\left ( \sum xy \right )=x^2y+y^2x+x^2z+z^2x+z^2y+y^2z+xyz=\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )+xyz\Rightarrow \frac{4\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+xz \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}=4+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 4+\frac{4}{8xyz}=\frac{9}{2}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Còn cách nào mà không cần bình phương không? Cách bình phương kia mình biết làm rồi :D






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh