Chủ đề này có 1 trả lời

[cesc1996]

cho $ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 }=1 $ tìm GTNN và GTLN của $ y=\frac { 1+{ a }^{ 4 }+{ b }^{ 4 } }{ 1+{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } $

[xCaroZ]

Theo giả thiết : $ a^2 -ab +b^2 = 1$ $\Rightarrow a^2 +b^2 =1 +ab \Rightarrow 1 +a^2 +b^2 = 2+ab$

Ta lại có: $a^4+b^4 =(a^2 +b^2)^2-2a^2b^2 =(1+ab)^2-2a^2b^2 =1+2ab-a^2b^2 \Rightarrow 1+a^4+b^4 =2+2ab-a^2b^2$

Vậy, $ y =\frac{2 +2ab -a^2b^2}{2 +ab} (*)$

đặt : $ab =t $

Khi đó (*) trở thành: $y =\frac{2 +2t -t^2}{2 +t}$

Áp dụng Côsi ta có :$a^2+b^2 \geq 2ab \Leftrightarrow 1 +ab \geq 2ab \Leftrightarrow t = ab \leq 1$

Xét hàm số $f(t) =\frac{2 +2t -t^2}{2 +t}$  trên $ (-\infty;1]$

Có: $ f'(t) =\frac{-t^2 -4t +2}{(2 +t)^2} ;f'(t) =0 \Leftrightarrow t = -2 -\sqrt{6} hoặc t = -2 +\sqrt{6}$

Lập bảng biến thiên ta thấy $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(-2 -\sqrt{6};-2 +\sqrt{6})$ và nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty;-2 -\sqrt{6});(-2 +\sqrt{6};1]$ và $f(1) =1 ;f(-2 -\sqrt{6}) =\frac{2 +2(-2 -\sqrt{6}) -(-2 -\sqrt{6})^2}{2 +(-2 -\sqrt{6})} <f(1)$

 

Vậy : $Min y = min f(t) =f(-2-\sqrt{6})$.Dấu $" = " $ xẩy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t =ab = -2 -\sqrt{6} \\ \begin{vmatrix}a \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}b \end{vmatrix}\\a^2 -ab +b^2 =1 \end{matrix}\right.$

         $Max y =max f(t) =f(-2 +\sqrt{6})$.Dấu $" = " $ xẩy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t =ab = -2 +\sqrt{6} \\ \begin{vmatrix}a \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}b \end{vmatrix}\\a^2 -ab +b^2 =1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 08-03-2014 - 13:44