Chủ đề này có 2 trả lời

[VTK]

Chứng minh rằng $$a^2 + b^2 + c^2 \geq  abc$$, biết  $$a + b + c \geq abc$$

[lahantaithe99]

Chứng minh rằng $$a^2 + b^2 + c^2 \geq  abc$$, biết  $$a + b + c \geq abc$$

Hình như phải là chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{3}abc$ thì phải   

 

Ta có $a+b+c\geq abc\Leftrightarrow 3abc(a+b+c)\geq 3(abc)^2$

 

Mặt khác lại có $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)$

 

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(abc)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{3}abc$

[KietLW9]

Bài này đúng rồi nhé, nhưng phải cho thêm điều kiện $a,b,c$ không âm.

Lời giải: 

Nếu một trong ba số $a,b,c$ bằng $0$ thì bất đẳng thức được chứng minh. Vậy ta chỉ cần xét $a,b,c>0$

Giả sử bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2\geqslant abc$ sai tức là $a^2+b^2+c^2< abc$. Khi đó $abc>a^2+b^2+c^2>a^2\Rightarrow bc>a$

Một cách tương tự, ta có: $ca>b$ và $ab>c$ suy ra $ab+bc+ca>a+b+c$

Mặt khác: $abc>a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\Rightarrow abc>a+b+c$ (Trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai, ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 24-04-2021 - 13:13