Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :
$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Trong đó a là số thực cho trước.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 09-03-2014 - 11:07
Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :
$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Trong đó a là số thực cho trước.
Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :
Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn
$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)
Trong đó $a$ là số thực cho trước.
GIẢI :
Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :
$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)
$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)
$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$
Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$
Xét 2 trường hợp :
1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)
2) $a\neq 0$ :
Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)
Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.
Kết luận :
+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)
+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2018 - 16:44
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :
Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn
$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)
Trong đó $a$ là số thực cho trước.
GIẢI :
Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :
$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)
$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)
$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$
Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$
Xét 2 trường hợp :
1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)
2) $a\neq 0$ :
Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)
Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.
Kết luận :
+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)
+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)
Bạn làm đúng rồi. +10 điểm PSW
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh